2014-天津卷文-02 单-线性规划

本题导读

先画出可行域，再把 $z=x+2y$ 化为斜截式，用等值线平移定最值点。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(文)） 设变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y-2⩾0,\\ x-y-2⩽0,\\ y⩾1,\end{array}$ 则目标函数 $z=x+2y$ 的最小值为()

A. $2$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

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由 $y⩾1$ 与另两个条件得 $2-y⩽x⩽y+2$，可行域是一块开口向上的角形区域。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

把 $z=x+2y$ 化为 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，纵截距 $\frac{z}{2}$ 最小时 $z$ 最小。 由 $\{\begin{array}{l}x+y-2⩾0,\\ x-y-2⩽0,\\ y⩾1\end{array}$ 得 $y⩾1$ 且 $2-y⩽x⩽y+2$。 当 $y=1$ 时 $1⩽x⩽3$，此时 $z=x+2=x+2$；在 $x=1$ 处取得最小，$z_{\min }=1+2\times 1=3$。 故目标函数的最小值为 $3$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式组表示的平面区域

2. 核心方法：图解法求目标函数的最值

3. 避坑指南：可行域是三角形区域，其顶点为 $(1,1)$ 与 $(3,1)$；把 $z=x+2y$ 写成 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$ 后，「截距最小」对应「$z$ 最小」，不要与「截距最大」混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 简单线性规划问题。

2. 结论推广: $z=ax+by$ 的最值在可行域的顶点（或边界）取得，等值线 $ax+by=z$ 的纵截距为 $\frac{z}{b}$。

3. 方法推广: 线性规划三步：画可行域 $\to$ 化目标函数为斜截式 $\to$ 平移等值线定最值点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷文-13 填-线性规划
• 2014-广东卷文-04 单-线性规划