2014-天津卷文-05 单-等差等比数列

本题导读

先用 $a_1$ 和 $d=-1$ 表示 $S_1$，$S_2$，$S_4$，再由等比中项列方程。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(文)） 设 $\{a_n\}$ 是首项为 $a_1$、公差为 $-1$ 的等差数列，$S_n$ 为其前 $n$ 项和.若 $S_1$，$S_2$，$S_4$ 成等比数列，则 $a_1=$ ()

A. $2$　　　　　　　B. $-2$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $-\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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由 $d=-1$ 得 $S_1=a_1$，$S_2=2a_1-1$，$S_4=4a_1-6$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$S_1=a_1$，$S_2=2a_1-1$，$S_4=4a_1-6$。 由 $S_1$，$S_2$，$S_4$ 成等比数列得 $S_2^2=S_1\cdot S_4$，即 $(2a_1-1{)}^2=a_1(4a_1-6)$。 展开得 $4a_1^2-4a_1+1=4a_1^2-6a_1$，即 $2a_1=-1$，解得 $a_1=-\frac{1}{2}$，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列的前 $n$ 项和

2. 核心方法：由等比中项列方程

3. 避坑指南：$S_1$，$S_2$，$S_4$ 成等比数列的条件是 $S_2^2=S_1{S}_4$，代入后二次项恰好消去，只剩关于 $a_1$ 的一次方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等差数列、等比数列的基本量运算。

2. 结论推广: $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$；$S_2^2=S_1\cdot S_4$。

3. 方法推广: 三个量成等比数列一律写成“中间项的平方 $=$ 两边之积”，再代入通项或前 $n$ 项和公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-05 单-等差等比数列
• 2014-江西卷文-13 填-等差数列