2014-新课标II卷文-05 单-等差等比数列

本题导读

$a_4^2=a_2{a}_8$ 得 $a_2=4$，$a_1=2$，$S_n=n(n+1)$，选 A。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(文)） 等差数列 $\{a_n\}$ 的公差是 2，若 $a_2$，$a_4$，$a_8$ 成等比数列，则 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=$ ()

A. $n(n+1)$　　　　B. $n(n-1)$　　　　C. $\frac{n(n+1)}{2}$　　　　D. $\frac{n(n-1)}{2}$

🔍【思路分析】

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$a_4^2=a_2{a}_8$ 得 $a_2=4$，$a_1=2$，$S_n=n(n+1)$，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$a_2$，$a_4$，$a_8$ 成等比，则 $a_4^2=a_2\cdot a_8$，即 $(a_2+2d{)}^2=a_2(a_2+6d)$。

代入 $d=2$：$(a_2+4{)}^2=a_2(a_2+12)$，展开 $a_2^2+8a_2+16=a_2^2+12a_2$，解得 $a_2=4$。

故 $a_1=a_2-d=2$，$a_n=2+2(n-1)=2n$。

$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2+2n)}{2}=n(n+1)$。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列的通项与前 $n$ 项和；等比中项条件

2. 核心方法：“等比 ⟹ 中项平方 = 两项之积”列方程

3. 避坑指南：三个数成等比用 $a_4^2=a_2{a}_8$，不是 $a_4=a_2+a_8$；解出 $a_2=4$ 后首项 $a_1=a_2-d=2$，别误取 $a_1=4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等差数列与等比条件结合题（doc 考点定位：数列），与 2014 年新课标Ⅰ文第 17 题（等差数列解答题）同卷。

2. 结论推广: 一般地，等差数列中 $a_m$，$a_k$，$a_n$ 成等比 $⟺a_k^2=a_m{a}_n$，代入通项 $a_1+(k-1)d$ 即成关于 $a_1,d$ 的方程。

3. 方法推广: “等差 + 等比”混合条件：一律翻译成 $a_4^2=a_2{a}_8$ 型方程，定出 $a_1,d$ 后套求和公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-17 解-等差数列错位相减
• 2015-新课标I卷文-07 单-等差数列