2014-天津卷理-06 单-圆的综合性质

本题导读

本题考查圆的综合性质，以及相似三角形与切割线定理。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(理)） 如图，$△ABC$ 是圆的内接三角形，$\angle BAC$ 的平分线交圆于点 $D$，交 $BC$ 于 $E$，过点 $B$ 的圆的切线与 $AD$ 的延长线交点为 $F$.在上述条件下，给出下列四个结论： ① $BD$ 平分 $\angle CBF$； ② $F{B}^2=FD\cdot FA$； ③ $AE\cdot CE=BE\cdot DE$； ④ $AF\cdot BD=AB\cdot BF$. 则所有正确结论的序号是()

A. ①②　　　　　　B. ③④　　　　　　C. ①②③　　　　　　D. ①②④

🔍【思路分析】

破题导航

1. 逐一分析四个几何命题的真伪。利用圆周角定理、弦切角定理、相似三角形及角平分线性质进行推导。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

• 对于①：连接 $CD$。因为 $AD$ 平分 $\angle BAC$，所以 $\upharpoonleft BD=\upharpoonleft CD$，从而 $\angle BCD=\angle CBD$，且 $\angle BAD=\angle CAD$。 由弦切角定理，过 $B$ 的切线 $FB$ 与弦 $BD$ 夹角等于圆周角 $\angle BCD$，即 $\angle FBD=\angle BCD=\angle CBD$，故 $BD$ 平分 $\angle CBF$。①正确。
• 对于②：在 $△FBD$ 和 $△FAB$ 中，$\angle F$ 是公共角，$\angle FBD=\angle FAB$（弦切角等于所夹弧对的圆周角 $\angle CAD=\angle CBD=\angle FBD$）。 因此 $△FBD\sim △FAB$，从而 $\frac{FB}{FA}=\frac{FD}{FB}$，即 $F{B}^2=FD\cdot FA$。②正确。
• 对于③：相交弦定理在圆内对相交弦 $AC$ 和 $BD$ 不适用（它们交于 $E$，但 $E$ 不是圆内两弦相交的标准形式，准确说是 $AE\cdot ED$ 不一定等于 $BE\cdot CE$。根据交点位置，$AE\cdot CE$ 和 $BE\cdot DE$ 不满足相交弦定理，③错误）。
• 对于④：由 $△FBD\sim △FAB$，可得 $\frac{BD}{AB}=\frac{FB}{FA}$，交叉相乘即得 $AF\cdot BD=AB\cdot BF$。④正确。 综上，正确的结论为①②④。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆周角定理、弦切角定理与相似三角形。

2. 核心方法：逐一用弦切角、相似、相交弦定理判定四个命题真伪。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 弦切角定理与切割线定理。

2. 结论推广: $△FBD\sim △FAB$，故 $F{B}^2=FD\cdot FA$、$AF\cdot BD=AB\cdot BF$。

3. 方法推广: 圆与切线组合题优先考虑弦切角与相似。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理
• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-07 单-圆的性质
• 2013-湖北卷理-15 填-圆的性质
• 2026-新高考I卷-18 解-椭圆综合