2014-天津卷理-15 解-三角函数的化简与恒等变换

本题导读

本题考查三角函数的化简与恒等变换。核心在于降幂扩角与辅助角公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)=\cos x\cdot \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)-\sqrt{3}{\cos }^{2}x+\frac{\sqrt{3}}{4},x\in \mathbf{R}$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 求 $f(x)$ 在闭区间 $\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]$ 上的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用两角和的正弦公式展开 $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$。
2. 利用二倍角公式及降幂公式将 $f(x)$ 化为 $A\sin (\omega x+\phi )+k$ 的形式。
3. 根据化简后的解析式直接求周期。
4. 结合给定闭区间求出自变量范围，进而求出函数的最值。

✅【答案】

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因此，$f(x)$ 的最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。；综上，$f(x)$ 在闭区间 $\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$，最小值为 $-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 化简 $f(x)$： $f(x)=\cos x\left(\sin x\cos \frac{\pi }{3}+\cos x\sin \frac{\pi }{3}\right)-\sqrt{3}{\cos }^{2}x+\frac{\sqrt{3}}{4}$ $=\cos x\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)-\sqrt{3}{\cos }^{2}x+\frac{\sqrt{3}}{4}$ $=\frac{1}{2}\sin x\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}{\cos }^{2}x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x+\frac{\sqrt{3}}{4}$ $=\frac{1}{2}\sin x\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}{\cos }^{2}x+\frac{\sqrt{3}}{4}$ $=\frac{1}{4}\sin (2x)-\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{1+\cos (2x)}{2}\right)+\frac{\sqrt{3}}{4}$ $=\frac{1}{4}\sin (2x)-\frac{\sqrt{3}}{4}\cos (2x)-\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}$ $=\frac{1}{4}\sin (2x)-\frac{\sqrt{3}}{4}\cos (2x)$ $=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin (2x)-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos (2x)\right)$ $=\frac{1}{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$。

因此，$f(x)$ 的最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

(2) 因为 $x\in \left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]$， 所以 $2x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$， 从而 $2x-\frac{\pi }{3}\in \left[-\frac{5\pi }{6},\frac{\pi }{6}\right]$。 在此区间内： 当 $2x-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{2}$（即 $x=-\frac{\pi }{12}$）时，正弦函数取得最小值 $-1$，此时 $f(x)$ 的最小值为 $\frac{1}{2}\times (-1)=-\frac{1}{2}$； 当 $2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$（即 $x=\frac{\pi }{4}$）时，正弦函数取得最大值 $1$，此时 $f(x)$ 的最大值为 $\frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{2}$。

综上，$f(x)$ 在闭区间 $\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$，最小值为 $-\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等变换、正弦型函数周期与最值。

2. 核心方法：展开并降幂化简为 $A\sin (\omega x+\phi )$，再求周期与闭区间最值。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 两角和公式、二倍角与辅助角公式。

2. 结论推广: $f(x)=\frac{1}{2}\sin (2x-\frac{\pi }{3})$，周期 $\pi$。

3. 方法推广: 三角式化简统一化为 $A\sin (\omega x+\phi )+k$ 求周期最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2025-新高考I卷-11 多-三角恒等变换
• 2025-新高考II卷-08 单-三角恒等变换
• 2025-北京卷-13 填-三角恒等变换