2014-天津卷理-19 解-集合的表示

本题导读

本题考查集合的表示方法、进位制与数论基础及数列放缩。核心在于构造法、归纳法与反证法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(理)） 已知 $q$ 和 $n$ 均为给定的大于 $1$ 的自然数. 设集合 $M=\{0,1,2,\cdots ,q-1\}$，集合 $A=\{x\mid x=x_1+x_{2}q+\cdots +x_n{q}^{n-1},x_i\in M,i=1,2,\cdots ,n\}$.

(1) 当 $q=2,n=3$ 时，用列举法表示集合 $A$；

(2) 设 $s,t\in A$，$s=a_1+a_{2}q+\cdots +a_n{q}^{n-1}$，$t=b_1+b_{2}q+\cdots +b_n{q}^{n-1}$，其中 $a_i,b_i\in M,i=1,2,\cdots ,n$. 证明：若 $a_n<b_n$，则 $s<t$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：根据 $q=2,n=3$ 代入集合 $M=\{0,1\}$，列举出所有可能的 $x_1+x_2\times 2+x_3\times 2^2$ 的值。
2. 第(2)问：利用进制数的比较原理，构造差值并利用 $a_n<b_n$ 及 $a_i,b_i$ 的取值范围进行放缩证明。

✅【答案】

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即 $s<t$ 成立

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $q=2,n=3$ 时，$M=\{0,1\}$。 集合 $A$ 中的元素形式为 $x=x_1+x_2\cdot 2+x_3\cdot 2^2$，其中 $x_1,x_2,x_3\in \{0,1\}$。 依次取所有可能的组合：

• $x_1=0,x_2=0,x_3=0⟹x=0$
• $x_1=1,x_2=0,x_3=0⟹x=1$
• $x_1=0,x_2=1,x_3=0⟹x=2$
• $x_1=1,x_2=1,x_3=0⟹x=3$
• $x_1=0,x_2=0,x_3=1⟹x=4$
• $x_1=1,x_2=0,x_3=1⟹x=5$
• $x_1=0,x_2=1,x_3=1⟹x=6$
• $x_1=1,x_2=1,x_3=1⟹x=7$ 用列举法表示为：$A=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$。

(2) 证明： 考虑 $t-s$： $t-s=(b_n-a_n)q^{n-1}+(b_{n-1}-a_{n-1})q^{n-2}+\cdots +(b_1-a_1)$。 因为 $a_n,b_n\in M$ 且 $a_n<b_n$，均为整数，所以 $b_n-a_n\ge 1$，从而 $(b_n-a_n)q^{n-1}\ge q^{n-1}$。 对于任意的 $i=1,2,\cdots ,n-1$，因为 $a_i,b_i\in \{0,1,\cdots ,q-1\}$， 所以 $b_i-a_i\ge -(q-1)$。 由此可得其余各项的总和下界： $(b_{n-1}-a_{n-1})q^{n-2}+\cdots +(b_1-a_1)\ge -(q-1)q^{n-2}-(q-1)q^{n-3}-\cdots -(q-1)$ $=-(q-1)(q^{n-2}+q^{n-3}+\cdots +1)$ $=-(q-1)\cdot \frac{q^{n-1}-1}{q-1}=-(q^{n-1}-1)=-q^{n-1}+1$。 因此： $t-s\ge q^{n-1}+(-q^{n-1}+1)=1>0$。 即 $s<t$ 成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的表示与进制比较、放缩证明。

2. 核心方法：列举法写出 $A$；构造 $t-s$ 并用放缩证 $s<t$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: $q$ 进制数的表示与比较。

2. 结论推广: $a_n<b_n$ 时 $s<t$（高位决定大小）。

3. 方法推广: 进制表示类集合问题用位权与放缩比较大小。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 19.05 数列放缩法路径选择与常用模型
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-02 单-集合的表示
• 2013-大纲卷理-01 单-集合的表示
• 2026-新高考II卷-02 单-集合