2013-山东卷理-02 单-集合的表示

本题导读

本题考查集合的基本概念，以及集合的表示方法。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(理)） 已知集合 $A=\{0,1,2\}$，则集合 $B=\{x-y|x\in A,y\in A\}$ 中元素的个数是()

A. 1　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 5　　　　　　　D. 9

🔍【思路分析】

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1. 理解集合定义：集合 $B$ 的元素是由 $A$ 中两个元素（可以是同一个）做差得到的。
2. 穷举所有情况：由于 $A$ 有 3 个元素，$x$ 有 3 种取值，$y$ 有 3 种取值，理论上共有 $3\times 3=9$ 种组合。
3. 应用互异性：集合中的元素不能重复。计算出所有差值后，需要去重，最后统计不同数值的个数。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

我们可以通过表格列出所有 $x-y$ 的可能结果：

$x\backslash y$	0	1	2
0	$0-0=0$	$0-1=-1$	$0-2=-2$
1	$1-0=1$	$1-1=0$	$1-2=-1$
2	$2-0=2$	$2-1=1$	$2-2=0$

从表中可以看出，所有可能的计算结果为：$0,-1,-2,1,0,-1,2,1,0$。

根据集合中元素的互异性，去除重复元素后： 集合 $B=\{-2,-1,0,1,2\}$。

统计元素个数，共有 5 个。

故正确答案为：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合中元素的三个特性（确定性、互异性、无序性）。

核心方法：对于元素较少的集合运算，列举法或表格法能有效防止遗漏和重复。

避坑指南：- 容易误选 D：认为 $3\times 3=9$ 种取法就对应 9 个元素，忽略了差值重合的情况。 - 容易遗漏 $x=y$ 的情况：题目要求 $x,y\in A$，并没说 $x\ne y$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合的并、交、补运算；子集个数公式 $2^n$。

结论推广：若集合 $A$ 有 $n$ 个元素且成等差数列，则集合 $\{x-y|x,y\in A\}$ 的元素个数通常为 $2n-1$。

方法推广：对于元素较少的集合运算，列举法或表格法能有效防止遗漏和重复。

🔗【关联脉络】

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