2014-安徽卷文-13 填-线性规划面积

本题导读

画三条边界直线，求交点确认区域为三角形，再用叉积求面积。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(文)） 不等式组 $\{\begin{array}{l}x+y-2⩾0,\\ x+2y-4⩽0,\\ x+3y-2⩾0\end{array}$ 表示的平面区域的面积为 $\underline{}$

🔍【思路分析】

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三条边界两两相交得三个顶点，代回检验都满足约束。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

三条边界直线为 $l_1:x+y=2$，$l_2:x+2y=4$，$l_3:x+3y=2$，两两相交于 $(0,2)$，$(2,0)$，$(8,-2)$，三点均满足原不等式组，故区域是以它们为顶点的三角形。取 $(0,2)$ 为参考点，另两顶点对应向量 $(2,-2)$ 与 $(8,-4)$，面积 $=\frac{1}{2}|2\times (-4)-(-2)\times 8|=\frac{1}{2}\times 8=4$。故面积为 $4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划（平面区域）

2. 核心方法：交点法 + 叉积面积公式

3. 避坑指南：顶点须代回约束检验；叉积公式 $\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$ 代入时符号容易错，建议画出草图核对量级。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线性规划背景下的区域面积题，本质是解析几何中的三角形面积计算。

2. 结论推广: 推广：求 $\{\begin{array}{l}{a}_{i}x+b_{i}y⩽c_i\end{array}$ 型区域面积的通用流程——交点 → 检验 → 鞋带公式。

3. 方法推广: 可行域面积题：画图定形 → 求交点 → 鞋带/叉积公式，两步验证防符号错。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-09 单-平面区域的表示
• 2014-北京卷理-06 单-线性规划