2014-北京卷理-06 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划中的动态边界问题。需要通过目标函数的最小值确定可行域的形状，进而反推含参约束条件中的斜率 $k$。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(理)） 若 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x+y-2\ge 0\\ kx-y+2\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$，且 $z=y-x$ 的最小值为 $-4$，则 $k$ 的值为()

A. $2$　　　　　　　B. $-2$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $-\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 分析目标函数：将 $z=y-x$ 变形为直线的斜截式 $y=x+z$。欲使 $z$ 最小，即要求直线在 $y$ 轴上的截距最小。
2. 分析约束条件：
   • $x+y-2\ge 0$ 表示直线 $x+y=2$ 的右上方区域。
   • $y\ge 0$ 表示 $x$ 轴及上方区域。
   • $kx-y+2\ge 0$ 是一条过定点 $(0,2)$ 且斜率为 $k$ 的动直线。
3. 数形结合：
   • 若 $k\ge 0$，则可行域在第一象限是无界的或最小值点在 $x+y-2=0$ 与 $x$ 轴交点 $(2,0)$ 处，此时 $z_{min}=0-2=-2\ne -4$，不符。
   • 若 $k<0$，直线 $kx-y+2=0$ 与 $x$ 轴交于点 $B(-\frac{2}{k},0)$。由图可知，当目标直线 $y=x+z$ 经过点 $B$ 时，$z$ 取得最小值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定最优解点 由题意，$z=y-x$ 的最小值为 $-4$。 已知直线 $x+y-2=0$ 与 $x$ 轴交点为 $A(2,0)$。若最优解在 $A$ 点取得，$z=0-2=-2$，不满足 $-4$。 因此，最优解必在动直线 $kx-y+2=0$ 与 $x$ 轴的交点 $B$ 处取得。


第二步：求交点 $B$ 的坐标 令 $y=0$，代入 $kx-y+2=0$ 得： $kx+2=0⟹x=-\frac{2}{k}$。 所以点 $B$ 的坐标为 $(-\frac{2}{k},0)$。

第三步：建立方程求 $k$ 将点 $B(-\frac{2}{k},0)$ 代入目标函数 $z=y-x$： $z_{min}=0-(-\frac{2}{k})=\frac{2}{k}$。 已知 $z_{min}=-4$，则： $\frac{2}{k}=-4⟹k=-\frac{1}{2}$。

验证：当 $k=-\frac{1}{2}$ 时，点 $B$ 为 $(4,0)$，在 $A(2,0)$ 的右侧，可行域成立且 $z$ 最小值确实在 $B$ 点。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含参约束条件下线性规划求最值。

2. 核心方法：数形结合确定最优解为动直线与 $x$ 轴交点，代入目标函数求 $k$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线性规划最优解在可行域顶点处取得。

2. 结论推广: 目标函数 $z=y-x$ 最值由直线在 $y$ 轴截距决定。

3. 方法推广: 含参线性规划先定最优解位置再反解参数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-11 单-线性规划
• 2015-福建卷文-10 单-线性规划
• 2015-湖南卷文-04 单-线性规划