2014-安徽卷文-19 解-立体几何截面

本题导读

侧棱相等 → $P$ 在底面中心垂线上；面面垂直 + $BC\parallel$ 截面 → 截面是竖直平面 $x=t$，坐标化后全部可算。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(文)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 的底面是边长为 $8$ 的正方形，四条侧棱长均为 $2\sqrt{17}$，点 $G$，$E$，$F$，$H$ 分别是棱 $PB$，$AB$，$CD$，$PC$ 上共面的四点，平面 $GEFH\perp$ 平面 $ABCD$，$BC\parallel$ 平面 $GEFH$.

(1) 证明：$GH\parallel EF$；

(2) 若 $EB=2$，求四边形 $GEFH$ 的面积.


🔍【思路分析】

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建立坐标系，把截面写成 $x=t$，$G,H$ 是侧棱与该平面的交点。

✅【答案】

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(1)$GH\parallel EF$；(2)$S=18$

✍【详细解析】

Abstract

(1)建系：$A(0,0,0)$，$B(8,0,0)$，$C(8,8,0)$，$D(0,8,0)$。底面中心 $O(4,4,0)$，由 $PA=PB=PC=PD$ 得 $P$ 在过 $O$ 的底面垂线上，$PO=\sqrt{68-32}=6$，故 $P(4,4,6)$。 平面 $GEFH\perp$ 底面且 $BC\parallel$ 平面 $GEFH$，故该平面是平行于 $y$ 轴的竖直平面，可设为 $x=t$。于是 $E(t,0,0)$，$F(t,8,0)$；$G$，$H$ 分别是 $PB$，$PC$ 与平面 $x=t$ 的交点。由 $G=P+\lambda (B-P)$，$H=P+\mu (C-P)$ 及 $x_G=x_H=t$ 得 $4+4\lambda =4+4\mu =t$，故 $\lambda =\mu$，$\overrightarrow{GH}=(0,8\lambda ,0)$，$\overrightarrow{EF}=(0,8,0)$，故 $GH\parallel EF$。 (2) $EB=8-t=2$ 得 $t=6$，$\lambda =\frac{t-4}{4}=\frac{1}{2}$，于是 $E(6,0,0)$，$F(6,8,0)$，$G(6,2,3)$，$H(6,6,3)$。四边形 $GEFH$ 在平面 $x=6$ 内，是以 $GH=4$ 为上底、$EF=8$ 为下底、高为 $3$ 的梯形，故 $S=\frac{4+8}{2}\times 3=18$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间位置关系（面面垂直、线面平行）与截面面积

2. 核心方法：建系参数化竖直截面

3. 避坑指南：截面 $x=t$ 与侧棱交点的高度随 $t$ 线性变化（$\lambda =\frac{t-4}{4}$）；$GEFH$ 是梯形不是平行四边形，上下底分别是 $GH$ 与 $EF$，高是 $G$ 点的竖坐标 $3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正四棱锥中平行于底面一边的竖直截面问题，截面是等腰梯形（一般情形）。

2. 结论推广: 推广：$EB=m$ 时 $\lambda =\frac{4-m}{4}$，$GH=8\lambda =8-2m$，$S=\frac{(8-2m)+8}{2}\times \frac{8-m}{2}\cdot \frac{3}{2}$ 型的线性表达。

3. 方法推广: 动态截面题通法：把截面方程参数化，交点用定比分点表示，图形量化为坐标运算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-19 解-线面垂直
• 2014-北京卷理-17 解-线线平行与线面平行