2014-四川卷文-18 解-线面垂直与平行

本题导读

(1) $A{A}_1\perp$ 平面 $ABC$ 给 $A{A}_1\perp BC$，结合 $AC\perp BC$；(2) $DE\parallel B{C}_1$，再把 $B{C}_1$ 平移进平面 $A_{1}MC$。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(文)） 在如图所示的多面体中，四边形 $AB{B}_1{A}_1$ 和 $AC{C}_1{A}_1$ 都为矩形.

(1) 若 $AC\perp BC$，证明：直线 $BC\perp$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$；

(2) 设 $D,E$ 分别是线段 $BC,C{C}_1$ 的中点，在线段 $AB$ 上是否存在一点 $M$，使直线 $DE\parallel$ 平面 $A_{1}MC$？请证明你的结论.

🔍【思路分析】

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(1) 由两个矩形得 $A{A}_1\perp AB,A{A}_1\perp AC$；(2) 取 $M$ 为 $AB$ 中点，$DE$ 为中位线平行 $B{C}_1$，再补形证 $B{C}_1\parallel$ 平面。

✅【答案】

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(1) 直线 $BC\perp$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$　(2) 存在，$M$ 为线段 $AB$ 的中点

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $AB{B}_1{A}_1$、$AC{C}_1{A}_1$ 都是矩形，所以 $A{A}_1\perp AB$，$A{A}_1\perp AC$。 又 $AB\cap AC=A$，所以 $A{A}_1\perp$ 平面 $ABC$，故 $A{A}_1\perp BC$。 又 $AC\perp BC$，$A{A}_1\cap AC=A$，所以 $BC\perp$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$。 (2) 存在，$M$ 为 $AB$ 的中点。证明如下： 连接 $DE$，在 $△BC{C}_1$ 中，$D,E$ 分别为 $BC,C{C}_1$ 的中点，所以 $DE\parallel B{C}_1$。 延长 $B_{1}B$ 至 $P$，使 $BP=B{B}_1$。在平面 $AB{B}_1{A}_1$ 内，$A{A}_1\parallel PB$， $△MA{A}_1\sim △MBP$（$M$ 为 $AB$ 中点，$AM=MB$），故 $A_{1}M=MP$，即 $A_1,M,P$ 三点共线，$P$ 在直线 $A_{1}M$ 上，从而 $P\in$ 平面 $A_{1}MC$。 因为 $PB\parallel C{C}_1$ 且 $PB=C{C}_1$，所以四边形 $PB{C}_{1}C$ 为平行四边形，$PC\parallel B{C}_1$。 又 $PC\subset$ 平面 $A_{1}MC$，$B{C}_1\not\subset$ 平面 $A_{1}MC$，所以 $B{C}_1\parallel$ 平面 $A_{1}MC$， 故 $DE\parallel$ 平面 $A_{1}MC$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直与线面平行的判定

2. 核心方法：矩形给垂直链；中位线 + 补平行四边形证线面平行

3. 避坑指南：$DE$ 是 $△BC{C}_1$ 的中位线 $\Rightarrow DE\parallel B{C}_1$；再延长 $B_{1}B$ 至 $P$ 使 $BP=B{B}_1$，由 $△MA{A}_1\sim △MBP$ 得 $A_1,M,P$ 共线，$PB{C}_{1}C$ 为平行四边形，$PC\parallel B{C}_1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 直线与平面垂直、直线与平面平行的判定。

2. 结论推广: 线面垂直：线垂直于面内两相交直线；线面平行：面外直线平行于面内直线。

3. 方法推广: 证线面平行先找中位线/平行四边形把”斜线”平移进平面。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷文-17 解-线面垂直与体积
• 2014-安徽卷文-19 解-立体几何截面