2014-安徽卷理-14 填-椭圆方程与性质

本题导读

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质。核心意图是利用通径的特殊性以及直线过焦点的比例关系，通过坐标化或几何比例关系建立 $c$ 与 $b$ 的方程，进而确定椭圆方程。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(理)） 设 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $E:x^2+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($0<b<1$) 的左、右焦点，过点 $F_1$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A,B$ 两点.若 $|A{F}_1|=3|B{F}_1|$，$A{F}_2\perp x$ 轴，则椭圆 $E$ 的方程为 $\underline{}$.


🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别特殊位置：由 $A{F}_2\perp x$ 轴可知，点 $A$ 的横坐标为 $c$（右焦点横坐标），且 $A{F}_2$ 是椭圆的一条通径的一半（或利用定义推导坐标）。
2. 确定点 $A$ 坐标：在 $x^2+\frac{y^2}{b^2}=1$ 中，令 $x=c$，解得 $y=\pm b^2$。设 $A(c,b^2)$。
3. 利用比例确定点 $B$：直线 $AB$ 过点 $F_1(-c,0)$。已知 $\overrightarrow{A{F}_1}=3\overrightarrow{F_{1}B}$（注意方向），可利用向量共线或分点坐标公式求出点 $B$ 的坐标。
4. 代入方程求解：点 $B$ 在椭圆上，将其坐标代入 $x^2+\frac{y^2}{b^2}=1$，结合 $c^2=1-b^2$ 求解 $b^2$。

✅【答案】

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$x^2+\frac{3}{2}{y}^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求点 $A$ 的坐标 已知椭圆 $E:x^2+\frac{y^2}{b^2}=1$，$a=1$。焦点为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$。 因为 $A{F}_2\perp x$ 轴，所以点 $A$ 的横坐标为 $c$。 代入椭圆方程：$c^2+\frac{y^2}{b^2}=1⟹\frac{y^2}{b^2}=1-c^2$。 由于 $1-c^2=b^2$（在此题中 $a=1$）， 所以 $y^2=b^4⟹y=\pm b^2$。 不妨设 $A(c,b^2)$。

第二步：求点 $B$ 的坐标 已知直线 $AB$ 过 $F_1(-c,0)$，且 $|A{F}_1|=3|B{F}_1|$。 由于 $A,F_1,B$ 三点共线且 $F_1$ 在 $A,B$ 之间，设 $\overrightarrow{A{F}_1}=3\overrightarrow{F_{1}B}$。 $\overrightarrow{A{F}_1}=(-c-c,0-b^2)=(-2c,-b^2)$。 则 $\overrightarrow{F_{1}B}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{F}_1}=(-\frac{2}{3}c,-\frac{1}{3}{b}^2)$。 设 $B(x_B,y_B)$，则 $(x_B-(-c),y_B-0)=(-\frac{2}{3}c,-\frac{1}{3}{b}^2)$。 解得 $x_B=-\frac{5}{3}c,y_B=-\frac{1}{3}{b}^2$。

第三步：代入椭圆方程求基本量 点 $B(-\frac{5}{3}c,-\frac{1}{3}{b}^2)$ 在椭圆 $x^2+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上： $(-\frac{5}{3}c{)}^2+\frac{(-\frac{1}{3}{b}^2{)}^2}{b^2}=1⟹\frac{25}{9}{c}^2+\frac{b^2}{9}=1$ 即 $25c^2+b^2=9$。 又因为 $c^2=1-b^2$，代入上式： $25(1-b^2)+b^2=9⟹25-24b^2=9$ $24b^2=16⟹b^2=\frac{2}{3}$

第四步：写出方程 椭圆方程为 $x^2+\frac{y^2}{2/3}=1$，即 $x^2+\frac{3}{2}{y}^2=1$。

故答案为 $x^2+\frac{3}{2}{y}^2=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆标准方程与焦点弦比例。

2. 核心方法：由 $A{F}_2\perp x$ 轴求 $A$ 坐标，用向量比例定 $B$，代入方程求 $b^2$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 椭圆通径与向量共线分点。

2. 结论推广: 通径端点坐标 $(c,\pm \frac{b^2}{a})$。

3. 方法推广: 焦点弦比例问题用向量共线或定比分点坐标化求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-21 解-椭圆方程与性质
• 2013-湖北卷理-21 解-椭圆方程与性质
• 2013-浙江卷理-21 解-椭圆方程与性质