2014-安徽卷理-15 填-数量积的最值

本题导读

本题考查向量的数量积与向量排列的组合问题。核心是把五对向量的对应分量全面分类，用「同为 $a$ 的位置总数 $M$」作参数表示 $S$，再逐条判定命题真假。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(理)） 已知两个不相等的非零向量 $a,b$，两组向量 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ 和 $y_1,y_2,y_3,y_4,y_5$ 均由 2 个 $a$ 和 3 个 $b$ 排列而成，记 $S=x_1\cdot y_1+x_2\cdot y_2+x_3\cdot y_3+x_4\cdot y_4+x_5\cdot y_5$，$S_{\min }$ 表示 $S$ 所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 $\underline{}$（写出所有正确命题的编号）. ① $S$ 有 5 个不同的值； ② 若 $a\perp b$，则 $S_{\min }$ 与 $|a|$ 无关； ③ 若 $a\parallel b$，则 $S_{\min }$ 与 $|b|$ 无关； ④ 若 $|b|>4|a|$，则 $S_{\min }>0$； ⑤ 若 $|b|=2|a|$，$S_{\min }=8|a{|}^2$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $\frac{\pi }{4}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 引入参数：把五对 $(x_i,y_i)$ 的 25 个对应位置中、两个分量同为 $a$ 的位置总数记为 $M$。
2. 分类计数：由五组 $x_i$ 中共有 10 个 $a$ 分量可知，「$x_i$ 为 $a$ 而 $y_i$ 为 $b$」的位置有 $10-M$ 个，由对称性，「$x_i$ 为 $b$ 而 $y_i$ 为 $a$」的位置也有 $10-M$ 个，其余 $5+M$ 个位置的两个分量均为 $b$。
3. 写出 $S$：$S=M|a{|}^2+2(10-M)a\cdot b+(5+M)|b{|}^2$，配方得 $S=5|b{|}^2+20a\cdot b+M|a-b{|}^2$。
4. 逐条判定：由 $a\ne b$ 知 $|a-b{|}^2>0$，故 $S$ 随 $M$ 增大而增大。

✅【答案】

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②④

✍【详细解析】

Abstract

第一步：用参数 $M$ 表示 $S$ 设五对 $(x_i,y_i)$ 中两个对应分量同为 $a$ 的位置总数为 $M$。因五组 $x_i$ 中共有 $2\times 5=10$ 个 $a$ 分量，故「$x_i$ 为 $a$ 而 $y_i$ 为 $b$」的位置有 $10-M$ 个；同理「$x_i$ 为 $b$ 而 $y_i$ 为 $a$」的位置也有 $10-M$ 个；余下的两个分量均为 $b$，共 $5+M$ 个位置。于是 $S=M|a{|}^2+2(10-M)a\cdot b+(5+M)|b{|}^2=5|b{|}^2+20a\cdot b+M|a-b{|}^2$

第二步：求 $S_{\min }$ 因为 $a\ne b$，所以 $|a-b{|}^2>0$，$S$ 随 $M$ 增大而增大。每一对向量中两个 $a$ 的位置交集可为 0、1、2 个，故 $M$ 可取 0 到 10 的每一个整数，$S$ 实际有 11 个不同的值，且 $S_{\min }=5|b{|}^2+20a\cdot b(M=0)$

第三步：逐条判定

• ① $S$ 有 11 个不同的值，命题错误。
• ② 若 $a\perp b$，则 $S_{\min }=5|b{|}^2$，与 $|a|$ 无关，命题正确。
• ③ 若 $a\parallel b$，则 $a\cdot b=\pm |a||b|$，$S_{\min }=5|b{|}^2\pm 20|a||b|$，仍与 $|b|$ 有关，命题错误。
• ④ 若 $|b|>4|a|$，由 $a\cdot b\ge -|a||b|$ 得 $S_{\min }\ge 5|b{|}^2-20|a||b|=5|b|\left(|b|-4|a|\right)>0$，命题正确。
• ⑤ 若 $|b|=2|a|$ 且 $S_{\min }=8|a{|}^2$，则 $5\times 4|a{|}^2+20a\cdot b=8|a{|}^2$，得 $a\cdot b=-\frac{3}{5}|a{|}^2$，于是 $\cos ⟨a,b⟩=\frac{a\cdot b}{|a||b|}=-\frac{3}{10}$，不等于 $\cos \frac{\pi }{4}$，命题错误。

故答案为 ②④

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积与排列组合的综合。

2. 核心方法：用”同为 $a$ 的位置总数 $M$“作参数表示 $S$，再逐条判定命题。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 数量积展开与组合计数。

2. 结论推广: $S=5|b{|}^2+20a\cdot b+M|a-b{|}^2$，随 $M$ 增大而增大。

3. 方法推广: 多向量对应分量求和问题引入位置分类参数统一处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 09.03 平面向量的数量积
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2026-新高考II卷-03 单-数量积
• 2026-天津卷-14 填-数量积
• 2023-新高考I卷-03 单-数量积