2014-山东卷文-17 解-解三角形

本题导读

$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{3}$、$\sin B=\cos A=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ⟹ $b=3\sqrt{2}$；$\sin C=\cos 2A=\frac{1}{3}$，$S=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(文)） $△ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$. 已知 $a=3$，$\cos A=\frac{\sqrt{6}}{3}$，$B=A+\frac{\pi }{2}$.

(1) 求 $b$ 的值；

(2) 求 $△ABC$ 的面积.

🔍【思路分析】

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$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{3}$、$\sin B=\cos A=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ⟹ $b=3\sqrt{2}$；$\sin C=\cos 2A=\frac{1}{3}$，$S=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。

✅【答案】

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(1) $b=3\sqrt{2}$ (2) $S=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$A$ 为三角形内角，$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{6}{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\sin A>0$）。

(1) $B=A+\frac{\pi }{2}⟹\sin B=\sin \left(A+\frac{\pi }{2}\right)=\cos A=\frac{\sqrt{6}}{3}$。

由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}$：

$b=\frac{a\sin B}{\sin A}=3\times \frac{\sqrt{6}/3}{\sqrt{3}/3}=3\sqrt{2}$。

(2) $C=\pi -A-B=\frac{\pi }{2}-2A$，所以 $\sin C=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2A\right)=\cos 2A={\cos }^{2}A-{\sin }^{2}A=\frac{6}{9}-\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。

$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\times 3\times 3\sqrt{2}\times \frac{1}{3}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理；诱导公式与二倍角；三角形面积公式

2. 核心方法："$B=A+\frac{\pi }{2}$"直接诱导到 $\sin B=\cos A$；求 $\sin C$ 走”内角和 + 余弦二倍角”

3. 避坑指南：①$\sin A$ 由同角关系取正号（内角），别漏开方；②$\cos 2A=\frac{1}{3}>0$，说明 $2A$ 是锐角或第四象限角——由 $C=\frac{\pi }{2}-2A>0$ 知 $2A<\frac{\pi }{2}$，$\sin C=\cos 2A$ 为正自洽。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 解三角形常规解答题，与 2014 年新课标Ⅰ理第 16 题、2014 年北京卷文第 12 题同族。

2. 结论推广: 一般地，"$B=A+\frac{\pi }{2}$"型条件一律诱导公式化成 $\sin B=\cos A$；第三角的正弦用 $\sin C=\cos (\pi -2A-\dots )$ 类二倍角收尾。

3. 方法推广: 解三角形：角关系 → 诱导/同角 → 正弦定理求边 → 面积公式作答。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理
• 2014-北京卷文-12 填-解三角形