2014-北京卷文-12 填-解三角形

本题导读

$c^2=1+4-2\times 1\times 2\times \frac{1}{4}=4$，$c=2$；$\sin A=\frac{\sqrt{15}}{8}$。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$a=1$，$b=2$，$\cos C=\frac{1}{4}$，则 $c=$ $\underline{}$；$\sin A=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$c^2=1+4-2\times 1\times 2\times \frac{1}{4}=4$，$c=2$；$\sin A=\frac{\sqrt{15}}{8}$。

✅【答案】

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$c=2$；$\sin A=\frac{\sqrt{15}}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

由余弦定理：

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=1+4-2\times 1\times 2\times \frac{1}{4}=4$，故 $c=2$。

$C$ 为三角形内角，$\sin C=\sqrt{1-{\cos }^{2}C}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$。

用面积搭桥：$\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A$，即

$\frac{1}{2}\times 1\times 2\times \frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{1}{2}\times 2\times 2\sin A$，

$\frac{\sqrt{15}}{4}=2\sin A$，所以 $\sin A=\frac{\sqrt{15}}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理；同角三角函数关系；三角形面积公式

2. 核心方法：余弦定理求第三边 → “面积相等”跨角求正弦

3. 避坑指南：求 $\sin A$ 用面积法最稳：$\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A$；若走正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ 也可，但要先算 $\sin C$，绕路且代入数字更繁。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 解三角形基础题（两空填空），与 2014 年新课标Ⅰ理第 16 题、新课标Ⅱ文第 17 题同章。

2. 结论推广: 一般地，已知两边及夹角：余弦定理求第三边；其它角的正弦用面积等式 $\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A$ 传递，一步到位。

3. 方法推广: 解三角形”知二求余”：夹角余弦已知 → 余弦定理 → 面积法跨角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理
• 2014-新课标II卷文-17 解-解三角形四边形