2013-大纲卷理-05 单-反函数的求法

本题导读

本题考查函数的基本性质，以及反函数。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） 函数 $f(x)={\log }_2(1+\frac{1}{x})$ ($x>0$) 的反函数 $f^{-1}(x)=$ ()

A. $\frac{1}{2^x-1}$ ($x>0$)　　　　　　　　　　　　B. $\frac{1}{2^x-1}$ ($x\ne 0$)

C. $2^x-1$ ($x\in \mathbb{R}$)　　　　　　　　　　　　　　D. $2^x-1$ ($x>0$)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 反解自变量 $x$：令 $y=f(x)$，通过对数与指数的互化关系，将 $x$ 表示为关于 $y$ 的表达式。
2. 变量互换：将表达式中的 $x$ 与 $y$ 对调，得到反函数的解析式。
3. 确定定义域：反函数的定义域等于原函数的值域。
   • 分析 $x>0$ 时，$1+\frac{1}{x}$ 的范围。
   • 进而确定 $y={\log }_2(1+\frac{1}{x})$ 的取值范围。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：反解 $x$ 设 $y={\log }_2(1+\frac{1}{x})$。 根据对数的定义，转化为指数式： $2^y=1+\frac{1}{x}$

移项得： $\frac{1}{x}=2^y-1$

反解出 $x$： $x=\frac{1}{2^y-1}$

第二步：求原函数的值域（即反函数的定义域） 已知原函数的自变量 $x>0$：

• 则 $\frac{1}{x}>0$；
• 所以 $1+\frac{1}{x}>1$；
• 根据对数函数 $y={\log }_{2}u$ 在 $(1,+\infty )$ 上单调递增，得 $y={\log }_2(1+\frac{1}{x})>{\log }_{2}1=0$。

即原函数的值域为 $(0,+\infty )$，因此反函数的定义域为 $x>0$。

第三步：写出反函数 将第一步中的 $x$ 与 $y$ 互换： $y=\frac{1}{2^x-1}$，其中 $x>0$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的求法步骤（解、换、定）。

核心方法：“值域定域法”。求反函数时，解析式往往容易求得，但必须通过原函数的值域来严格限定反函数的定义域，这是最容易失分的地方。

避坑指南：- 忘记写定义域或写错定义域（如 B 选项）。 - 对数运算基础不扎实，导致第一步反解出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数函数与对数函数的互化、复合函数的单调性。

结论推广：若 $f(x)={\log }_a(g(x))$，其反函数通常涉及 $a^x$ 形式的复合。

方法推广：图像性质上，互为反函数的两个函数图象关于直线 $y=x$ 对称。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-12 单-反函数
• 2015-上海卷文-04 填-反函数
• 2014-大纲卷文-05 单-反函数