2012-安徽卷文-13 填-绝对值函数单调区间

本题导读

本题考查绝对值函数的图象与单调性。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(文)） 若函数 $f(x)=|2x+a|$ 的单调递增区间是 $[3,+\infty )$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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增区间左端点 $-\frac{a}{2}=3$，故 $a=-6$。

✅【答案】

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$-6$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=|2x+a|$ 的图象是顶点在 $\left(-\frac{a}{2},0\right)$、开口向上的折线。

当 $x⩾-\frac{a}{2}$ 时 $f(x)=2x+a$，单调递增；当 $x<-\frac{a}{2}$ 时单调递减。

故递增区间为 $\left[-\frac{a}{2},+\infty \right)$，与题设 $[3,+\infty )$ 比较得 $-\frac{a}{2}=3$，即 $a=-6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值函数的分段图象；单调区间的端点（对称轴）

核心方法：由绝对值图象的”V 形”顶点横坐标等于增区间左端点，列方程

避坑指南：顶点横坐标 $-\frac{a}{2}$ 对应的是 $2x+a=0$ 的解，系数 $2$ 别漏除；增区间是折线右支，若区间给的是 $(-\infty ,3]$ 则对应减区间，方程变为 $-\frac{a}{2}=3$ 不变但含义不同。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：绝对值函数单调区间定参题，与 2014 年山东卷理第 8 题、2015 年湖北卷文第 17 题同族。

结论推广：$f(x)=|kx+b|$ 的增区间为 $\left[-\frac{b}{k},+\infty \right)$（$k>0$）；$|kx+b|$ 的零点即图象顶点。

方法推广：绝对值函数问题先画 V 形图定位顶点与两支走向，再把题给区间与图象对应列方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷理-08 单-绝对值函数
• 2015-湖北卷文-17 填-绝对值函数最值
• 2014-上海卷文-03 填-绝对值函数求值