2014-山东卷理-11 填-程序框图

本题导读

本题考查程序框图中的循环结构与一元二次不等式的结合。核心在于准确识别循环终止条件，并通过逐步模拟变量 $x$ 和 $n$ 的变化情况来确定输出值。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 执行下面的程序框图，若输入的 $x$ 的值为 $1$，则输出的 $n$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析循环条件：首先解一元二次不等式 $x^2-4x+3\le 0$，确定变量 $x$ 满足什么范围时会继续执行循环。
2. 追踪变量变化：从输入的 $x=1$ 开始，结合初始化条件（通常 $n=0$），模拟每一次循环后的 $x$ 和 $n$ 的值。
3. 判定退出时刻：当执行完某次循环后，新得到的 $x$ 使得不等式不再成立，则停止循环，输出当前的 $n$。

✅【答案】

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程序退出循环后，输出当前的 $n$ 值，即 $n=3$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：解判定条件不等式 由 $x^2-4x+3\le 0$，因式分解得 $(x-1)(x-3)\le 0$。 解得：$1\le x\le 3$。 这意味着只要 $x$ 的值在 $[1,3]$ 区间内，程序就会继续执行循环。

第二步：模拟程序运行过程 假设初始化 $n=0$（根据高考此类题型惯例）：

• 初始状态：$x=1$。
• 第一次判定：$x=1$ 满足 $1\le x\le 3$，进入循环。
  • 执行 $x=1+1=2$；
  • 执行 $n=0+1=1$。
• 第二次判定：$x=2$ 满足 $1\le x\le 3$，继续循环。
  • 执行 $x=2+1=3$；
  • 执行 $n=1+1=2$。
• 第三次判定：$x=3$ 满足 $1\le x\le 3$，继续循环。
  • 执行 $x=3+1=4$；
  • 执行 $n=2+1=3$。
• 第四次判定：$x=4$ 不满足 $1\le x\le 3$，退出循环。

第三步：确定输出结果 程序退出循环后，输出当前的 $n$ 值，即 $n=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：循环结构的执行逻辑。关键是区分“当型循环”（满足条件执行）和“直到型循环”（满足条件退出）。

2. 核心方法：列表模拟法。对于步数较少的算法题，手动列出 $(x,n)$ 的变化序列是最稳妥的防错手段。

3. 避坑指南：注意边界值的判定。本题中 $x=3$ 时依然满足条件，会进行第三次循环，很多同学容易在 $x=3$ 时误以为直接结束，从而少算一次循环。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 条件分支结构、算法的赋值语句。

2. 结论推广: 在程序框图中，若循环体为 $n=n+1$，则 $n$ 的输出值本质上是循环执行的次数。

3. 方法推广: 面对更复杂的算法，可以尝试寻找变量变化的通项公式 $a_n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-07 单-程序框图
• 2015-福建卷文-04 单-程序框图
• 2015-湖南卷文-05 单-程序框图