2014-广东卷文-20 解-椭圆轨迹

本题导读

(1) $c=\sqrt{5}$，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ 得 $a=3$，$b=2$；(2)过 $P$ 的切线斜率 $k$ 满足 $(x_0^2-9)k^2-2x_0{y}_{0}k+(y_0^2-4)=0$，两切线垂直即 $k_1{k}_2=-1$。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(文)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的一个焦点为 $(\sqrt{5},0)$，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2) 若动点 $P(x_0,y_0)$ 为椭圆 $C$ 外一点，且点 $P$ 到椭圆 $C$ 的两条切线相互垂直，求点 $P$ 的轨迹方程.

🔍【思路分析】

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(2) 设切线 $y-y_0=k(x-x_0)$，与椭圆联立用判别式 $\Delta =0$ 得 $k$ 的二次方程。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$；(2)$x_0^2+y_0^2=13$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $c=\sqrt{5}$，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ 得 $a=3$，$b^2=a^2-c^2=9-5=4$。椭圆 $C:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$。 (2) 若切线斜率存在，设过 $P$ 的切线为 $y=k(x-x_0)+y_0$。代入椭圆方程并整理，相切条件为判别式为零，化简得 $(x_0^2-9)k^2-2x_0{y}_{0}k+(y_0^2-4)=0$。 当 $x_0^{2}eq9$ 时，两切线斜率 $k_1,k_2$ 是该方程的两根，$k_1{k}_2=\frac{y_0^2-4}{x_0^2-9}$。由两切线垂直，$k_1{k}_2=-1$，故 $y_0^2-4=-(x_0^2-9)$，即 $x_0^2+y_0^2=13$。 当 $x_0^2=9$ 时，一条切线垂直于 $x$ 轴，另一条平行于 $x$ 轴，此时 $P$ 为 $(\pm 3,\pm 2)$，同样满足 $x_0^2+y_0^2=13$。 故点 $P$ 的轨迹方程为 $x_0^2+y_0^2=13$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆标准方程与切线垂直的轨迹问题

2. 核心方法：判别式法 + 韦达定理

3. 避坑指南：切线条件 $(x_0^2-9)k^2-2x_0{y}_{0}k+(y_0^2-4)=0$ 由判别式为零而来；两根之积 $k_1{k}_2$ 用韦达定理而不是解出 $k$；斜率不存在的情形（$x_0=\pm 3$）单独验证后并入轨迹。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 轨迹 $x^2+y^2=a^2+b^2$ 正是椭圆的蒙日圆（外切矩形的顶点轨迹），见本库 18.20 蒙日圆笔记。

2. 结论推广: 推广：对 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，互相垂直的两条切线交点轨迹为 $x^2+y^2=a^2+b^2$。

3. 方法推广: 切线交点轨迹题：设斜率 → 判别式为零得 $k$ 的二次方程 → 按垂直/夹角条件用韦达定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.20 蒙日圆

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质
• 2014-北京卷理-19 解-椭圆方程与性质