2014-新课标II卷文-21 解-导数切线交点

本题导读

(1) $f^{\prime }(0)=a$，切线 $y=ax+2$ 过 $(-2,0)$ 得 $a=1$；(2) 交点即 $g(x)=(x-2{)}^2(x+1)+(1-k)x$ 的零点：$x\ge 0$ 时 $g>0$；$x<0$ 时 $k\le -2$ 则 $g$ 严格递增，$-2<k<1$ 则极小值 $x_2^2(3-2x_2)+4>0$，均恰有一个零点。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^3-3x^2+ax+2$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,2)$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标为 $-2$.

(1) 求 $a$；

(2) 证明: 当 $k<1$ 时，曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=kx-2$ 只有一个交点.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) $f^{\prime }(0)=a$，切线 $y=ax+2$ 过 $(-2,0)$ 得 $a=1$；(2) 交点即 $g(x)=(x-2{)}^2(x+1)+(1-k)x$ 的零点：$x\ge 0$ 时 $g>0$；$x<0$ 时 $k\le -2$ 则 $g$ 严格递增，$-2<k<1$ 则极小值 $x_2^2(3-2x_2)+4>0$，均恰有一个零点。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $a=1$ (2) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x+a$，$f^{\prime }(0)=a$，切线方程为 $y=ax+2$。

切线与 $x$ 轴交点横坐标为 $-\frac{2}{a}=-2$（$a\ne 0$），得 $a=1$。

(2) 此时 $f(x)=x^3-3x^2+x+2$。两曲线交点即方程 $x^3-3x^2+x+2=kx-2$ 的根，令

$g(x)=x^3-3x^2+(1-k)x+4=(x-2{)}^2(x+1)+(1-k)x$。

第一步：$x\ge 0$ 上无零点。 $k<1$ 时 $1-k>0$：$x=0$ 时 $g(0)=4>0$；$x>0$ 时 $(x-2{)}^2(x+1)\ge 0$ 且 $(1-k)x>0$，故 $g(x)>0$。

第二步：$x<0$ 上恰有一个零点。 $g(x)\to -\infty$（$x\to -\infty$），$g(0)=4>0$，由连续性至少有一个零点。分两段：

①当 $k\le -2$ 时：$g^{\prime }(x)=3x^2-6x+1-k=3(x-1{)}^2-2-k\ge 0$，且仅 $x=1$（不在 $x<0$ 范围）可能为 0，故 $g$ 在 $(-\infty ,0)$ 严格递增，恰有一个零点。

②当 $-2<k<1$ 时：$g^{\prime }(x)=0$ 的两根为 $x=1\pm \sqrt{\frac{2+k}{3}}$。记 $x_2=1+\sqrt{\frac{2+k}{3}}\in (1,2)$，是极小值点。

由 $g^{\prime }(x_2)=0$ 得 $1-k=6x_2-3x_2^2$，代入：

$g(x_2)=x_2^3-3x_2^2+(6x_2-3x_2^2)x_2+4=x_2^2(3-2x_2)+4$。

设 $\psi (x)=x^2(3-2x)+4$，${\psi }^{\prime }(x)=6x(1-x)<0$（$x>1$），$\psi$ 在 $(1,2]$ 递减，$\psi (2)=0$，故 $g(x_2)=\psi (x_2)>0$，即极小值为正。

而 $g$ 的极大值点 $x_1=1-\sqrt{\frac{2+k}{3}}\in (0,1)>0$，即所有极值点都在正半轴；$g$ 在 $(-\infty ,x_1)$ 上递增，从 $-\infty$ 增至 $g(x_1)>0$，恰有一个零点。

综上，$g$ 在 $\mathbf{R}$ 上恰有一个零点，即曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=kx-2$ 只有一个交点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义（切线）；导数与函数零点个数；含参不等式

2. 核心方法：切线条件定参；“拆分 $g(x)=(x-2{)}^2(x+1)+(1-k)x$” + 极值符号控制零点个数

3. 避坑指南：①拆分式 $g(x)=(x-2{)}^2(x+1)+(1-k)x$ 是全题钥匙——直接讨论三次函数极值符号也可，但拆开后 $x\ge 0$ 的一段无零点立得；②极小值点 $x_2\in (1,2)$，$x_2^2(3-2x_2)+4>0$ 的依据是 $\psi$ 在 $(1,2)$ 递减且 $\psi (2)=0$，别用”$x_2$ 附近”含糊带过。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 导数与零点个数压轴题（doc 考点定位：导数的应用），与 2014 年新课标Ⅰ文第 21 题（导数存在性）同卷同型，2015 年新课标Ⅰ文第 21 题同族。

2. 结论推广: 一般地，“曲线 $f(x)$ 与动直线 $y=kx+m$ 交点个数” $⟺h(x)=f(x)-kx+m$ 的零点个数；把 $h$ 拆成”定函数 + 含参一次项”常能把参数分离成系数判断。

3. 方法推广: 零点个数证明题标准路线：定出无零点区间 → 剩余区间用单调性或极值符号卡住”恰一个”，临界参数（$k=-2$）单独处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.16 零点问题

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-21 解-导数存在性
• 2015-新课标I卷文-21 解-导数综合