2014-新课标I卷文-24 解-基本不等式

本题导读

条件即 $a+b=(ab{)}^{3/2}$ 且 $ab\ge 2$；$a^3+b^3=t^5(t^4-3)$ 递增，最小值 $4\sqrt{2}$；(2) 由 $2a+3b=6$ 得 $ab\le \frac{3}{2}<2$，矛盾。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(文)） （选修 4-5：不等式选讲）若 $a>0$，$b>0$，且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{ab}$.

(1) 求 $a^3+b^3$ 的最小值；

(2) 是否存在 $a$，$b$，使得 $2a+3b=6$？并说明理由.

🔍【思路分析】

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条件即 $a+b=(ab{)}^{3/2}$ 且 $ab\ge 2$；$a^3+b^3=t^5(t^4-3)$ 递增，最小值 $4\sqrt{2}$；(2) 由 $2a+3b=6$ 得 $ab\le \frac{3}{2}<2$，矛盾。

✅【答案】

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(1) $a^3+b^3$ 的最小值为 $4\sqrt{2}$ (2) 不存在满足条件的 $a$，$b$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 条件两边同乘 $ab>0$：$a+b=(ab{)}^{\frac{3}{2}}$。

令 $t=\sqrt{ab}>0$，则 $a+b=t^3$。又 $a+b\ge 2\sqrt{ab}=2t$，故 $t^3\ge 2t$，$t\ge \sqrt{2}$。

$a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)=t^9-3t^5=t^5(t^4-3)$。

设 $g(t)=t^5(t^4-3)$（$t\ge \sqrt{2}$），$g^{\prime }(t)=5t^4(t^4-3)+4t^8=t^4(9t^4-15)$。$t\ge \sqrt{2}$ 时 $9t^4-15\ge 18-15>0$，$g$ 递增。

故最小值在 $t=\sqrt{2}$ 取得：$(\sqrt{2}{)}^5\left((\sqrt{2}{)}^4-3\right)=4\sqrt{2}\cdot (4-3)=4\sqrt{2}$，此时 $a=b=\sqrt{2}$。

(2) 若存在正数 $a,b$ 使 $2a+3b=6$，则 $a=3-\frac{3}{2}b$，$0<b<2$。

$ab=\left(3-\frac{3}{2}b\right)b=\frac{3}{2}b(2-b)\le \frac{3}{2}$（$b=1$ 时取等）。

而由 (1) 已证 $ab=t^2\ge 2$，$\frac{3}{2}<2$，矛盾。故不存在满足条件的 $a,b$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式；换元法与函数单调性

2. 核心方法：整体换元 $t=\sqrt{ab}$；二次函数上界制造矛盾（反证）

3. 避坑指南：①由条件推出的 $a+b=(ab{)}^{3/2}$ 是全题核心，隐含 $ab\ge 2$ 别丢；②(2) 用”$ab$ 有下界 2”与”$ab$ 有上界 $\frac{3}{2}$“对比制造矛盾，是”两侧夹逼”式反证的典型。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 基本不等式的综合应用（doc 考点定位：不等式选讲），2014 年新课标Ⅰ理第 24 题与此题同源。

2. 结论推广: 一般地，条件 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{ab}$ 等价于 $a+b=(ab{)}^{3/2}$ 且 $ab\ge 2$，这两条”代数翻译”适用于该题的所有变式。

3. 方法推广: 不等式选讲的含条件最值：先把条件整理成对称结构（换元），再判断目标函数单调性或用反证。

🔗【关联脉络】

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