2014-新课标I卷理-24 解-算术-几何平均值不等式

本题导读

本题考查基本不等式的综合应用。第一问通过已知等式利用基本不等式锁定变量积 $ab$ 的范围，进而求出立方和的最小值；第二问通过反证法或放缩法，利用第一问的结论证明特定线性组合的不可能取值。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） 若 $a>0,b>0$，且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{ab}$.

(1) 求 $a^3+b^3$ 的最小值；

(2) 是否存在 $a,b$，使得 $2a+3b=6$？并说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：立方和最值
   • 分析条件：由 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\sqrt{ab}$ 可得 $a+b=(ab{)}^{3/2}$。
   • 利用不等式：由基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$。
   • 求 $ab$ 范围：建立关于 $\sqrt{ab}$ 的不等式，解出 $ab$ 的最小值。
   • 目标函数最值：利用 $a^3+b^3\ge 2\sqrt{a^3{b}^3}$ 求解。
2. 第二问：存在性判定
   • 建立下界：利用 $2a+3b\ge 2\sqrt{2a\cdot 3b}=2\sqrt{6ab}$。
   • 代入范围：代入第一问求得的 $ab$ 最小值，观察 $2a+3b$ 的最小值与 $6$ 的关系。
   • 结论判断：若最小值大于 $6$，则不存在。

✅【答案】

点击查看答案

第 (1) 小题：求 $a^3+b^3$ 的最小值；$4\sqrt{2}$；第 (2) 小题：判定 $2a+3b=6$ 的存在性

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：求 $a^3+b^3$ 的最小值 因为 $a>0,b>0$，由基本不等式： $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge 2\sqrt{\frac{1}{ab}}$ 已知 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{ab}$，所以： $\sqrt{ab}\ge \frac{2}{\sqrt{ab}}$ 两边同乘以 $\sqrt{ab}$ 得 $ab\ge 2$。 当且仅当 $a=b=\sqrt{2}$ 时，等号成立。 对于目标式 $a^3+b^3$，根据基本不等式： $a^3+b^3\ge 2\sqrt{a^3{b}^3}=2(ab{)}^{3/2}$ 由于 $ab\ge 2$，则： $2(ab{)}^{3/2}\ge 2\times 2^{3/2}=2\times 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ 当且仅当 $a=b=\sqrt{2}$ 时，等号成立。 所以 $a^3+b^3$ 的最小值为 $4\sqrt{2}$。

第 (2) 小题：判定 $2a+3b=6$ 的存在性 假设存在 $a,b$ 满足条件。 根据基本不等式： $2a+3b\ge 2\sqrt{2a\cdot 3b}=2\sqrt{6ab}$ 由 (1) 知 $ab\ge 2$，所以： $2\sqrt{6ab}\ge 2\sqrt{6\times 2}=2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$ 因为 $\sqrt{3}\approx 1.732$，所以 $4\sqrt{3}\approx 6.928>6$。 即 $2a+3b$ 的最小值大于 $6$。 故不存在 $a,b$，使得 $2a+3b=6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式的综合应用、立方和与线性组合的最值。

2. 核心方法：基本不等式放缩锁定 $ab$ 范围，再对目标式放缩求最值。

3. 避坑指南：在第二问中，不要直接尝试解方程组，利用第一问的结论进行范围放缩是此类解答题的常见解题路径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 柯西不等式、权方和不等式（可用于求 $a^3+b^3$ 的另一种路径）。

2. 结论推广: 若 $\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}=(ab{)}^k$，通常可以通过基本不等式锁定 $ab$ 的幂次下界。

3. 方法推广: 面对“是否存在”类问题，若判定为“否”，常用的方法是证明目标值的最小值大于给定值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷文-16 填-均值不等式最值
• 2025-新高考II卷-04 单-分式不等式
• 2025-上海卷-02 填-分式不等式