2014-江苏卷-06 填-频率分布直方图

本题导读

本题考查频率分布直方图的理解与应用。核心在于明确直方图中各小矩形的面积代表该组的频率，并能通过“频数 = 样本容量 × 频率”进行转化。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 $60$ 株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间 $[80,130]$ 上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 $60$ 株树木中，有 $\underline{}$ 株树木的底部周长小于 $100\text{cm}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别直方图参数：
   • 组距为 $10$（例如 $90-80=10$）。
   • 纵轴表示“频率/组距”。
2. 计算目标频率：
   • 底部周长小于 $100\text{cm}$ 包含 $[80,90)$ 和 $[90,100)$ 两个区间。
   • 利用“面积 = 高 × 组距”计算这两个区间的频率之和。
3. 计算频数：利用公式 $\text{频数}=\text{样本容量}\times \text{频率}$ 求解。

✅【答案】

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$24$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算底部周长小于 $100\text{cm}$ 的频率 根据频率分布直方图，底部周长在 $[80,100)$ 范围内的矩形面积之和即为该范围的频率：

• 区间 $[80,90)$ 的频率 = $0.015\times 10=0.15$；
• 区间 $[90,100)$ 的频率 = $0.025\times 10=0.25$。 所以，底部周长小于 $100\text{cm}$ 的总频率 $P=0.15+0.25=0.40$。

第二步：计算频数 已知抽测的样本容量 $N=60$。 则底部周长小于 $100\text{cm}$ 的树木株数为： $\text{频数}=60\times 0.40=24$

故答案为 $24$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图中面积的几何意义（面积 = 频率）。

2. 核心方法：记住核心关系式 $\text{频率}=\frac{\text{频率}}{\text{组距}}\times \text{组距}$。

3. 避坑指南：切记纵坐标不是频率，而是“频率/组距”。如果直接用纵坐标相加而不乘组距，会导致计算结果错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 利用直方图估计总体的众数（最高矩形中点）、中位数（面积平分线位置）和平均数（各组中点值乘以对应频率之和）。

2. 结论推广: 直方图中所有矩形的面积之和恒等于 $1$。

3. 方法推广: 记住核心关系式 $\text{频率}=\frac{\text{频率}}{\text{组距}}\times \text{组距}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-18 解-频率分布直方图
• 2015-广东卷文-17 解-频率分布直方图
• 2014-重庆卷文-17 解-频率分布直方图