2014-江苏卷-14 填-正余弦定理

本题导读

本题是填空题的压轴题，综合考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式求最值。核心在于将角的关系转化为边的关系，并构造出适合使用基本不等式的代数式。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 若 $△ABC$ 的内角满足 $\sin A+\sqrt{2}\sin B=2\sin C$，则 $\cos C$ 的最小值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 边角转化：利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，将已知的角关系转化为边关系：$a+\sqrt{2}b=2c$。
2. 代入余弦定理：将 $c=\frac{a+\sqrt{2}b}{2}$ 代入余弦定理 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$。
3. 构造不等式：将展开后的式子化简为关于 $\frac{a}{b}$ 或 $\frac{b}{a}$ 的表达式。
4. 求最值：利用基本不等式 $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ 求解 $\cos C$ 的最小值，并注意等号成立的条件。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：转化边关系 由正弦定理得：$a+\sqrt{2}b=2c$，即 $c=\frac{a+\sqrt{2}b}{2}$。

第二步：代入余弦定理并化简 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{a^2+b^2-{\left(\frac{a+\sqrt{2}b}{2}\right)}^2}{2ab}$ 展开分子： $a^2+b^2-\frac{a^2+2\sqrt{2}ab+2b^2}{4}=\frac{4a^2+4b^2-a^2-2\sqrt{2}ab-2b^2}{4}=\frac{3a^2+2b^2-2\sqrt{2}ab}{4}$ 代入原分式： $\cos C=\frac{3a^2+2b^2-2\sqrt{2}ab}{8ab}=\frac{3a^2+2b^2}{8ab}-\frac{\sqrt{2}}{4}$ $\cos C=\frac{1}{8}\left(3\frac{a}{b}+2\frac{b}{a}\right)-\frac{\sqrt{2}}{4}$

第三步：利用基本不等式求最小值 因为 $a,b>0$，由基本不等式得： $3\frac{a}{b}+2\frac{b}{a}\ge 2\sqrt{3\frac{a}{b}\cdot 2\frac{b}{a}}=2\sqrt{6}$ 所以： $\cos C\ge \frac{2\sqrt{6}}{8}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ 当且仅当 $3\frac{a}{b}=2\frac{b}{a}$，即 $3a^2=2b^2$（或 $\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{6}}{3}$）时，等号成立。

故答案为 $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正、余弦定理的综合运用，基本不等式求最值。

2. 核心方法：通过正弦定理实现“由角至边”的跨越，再通过余弦定理建立目标函数。

3. 避坑指南：在化简余弦定理公式时，计算务必小心，尤其是分母的 $2ab$ 与分子分式的 $4$ 容易结合错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 基本不等式的等号成立条件、三角形内角和定理。

2. 结论推广: 在此类求三角函数最值的问题中，若出现 $\sin A,\sin B,\sin C$ 的线性组合，通常暗示了边长之间的比例关系。

3. 方法推广: 也可以尝试使用三角换元（令 $a=x\sin A$ 等），但在本题中边换元可知更为简洁。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷理-17 解-正余弦定理
• 2013-江苏卷-18 解-正余弦定理
• 2025-新高考II卷-05 单-余弦定理