2013-江苏卷-18 解-正余弦定理

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理。核心在于几何构造法、函数建模法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年江苏卷） 如图，游客从某旅游景区的景点 $A$ 处下山至 $C$ 处有两种路径.一种是从 $A$ 沿直线步行到 $C$，另一种是先从 $A$ 沿索道乘缆车到 $B$，然后从 $B$ 沿直线步行到 $C$. 现有甲、乙两位游客从 $A$ 处下山，甲沿 $AC$ 匀速步行，速度为 50 米/分钟.在甲出发 2 分钟后，乙从 $A$ 乘缆车到 $B$，在 $B$ 处停留 1 分钟后，再从 $B$ 匀速步行到 $C$.假设缆车速度为 130 米/分钟，山路 $AC$ 的长为 1260 米，经测量，$\cos A=\frac{12}{13},\cos C=\frac{3}{5}$.

(1)求索道 $AB$ 的长；

(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)为使两位游客在 $C$ 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：在 $△ABC$ 中已知 $AC$ 边和两个角的余弦值。通过作高 $BD\perp AC$，利用三角函数定义将 $AC$ 分为两段，列方程求解 $AB$。
2. 第二问：设乙出发 $t$ 分钟。此时乙在 $AB$ 上移动了 $130t$ 米，甲在 $AC$ 上移动了 $50(t+2)$ 米。利用余弦定理写出距离 $d$ 的平方关于 $t$ 的二次函数，求对称轴处的最值。
3. 第三问：先算出甲到达 $C$ 点的总时间。根据“等待时间不超过 3 分钟”，建立乙到达时间 $T_{乙}$ 的不等式 $|T_{乙}-T_{甲}|\le 3$。扣除乙在索道和停留的时间，求出其在 $BC$ 段速度的取值范围。

✅【答案】

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所以 $AB=13\times 80=1040$（米）。；此时乙到达 $M$ 点，$AM=130x$；甲到达 $N$ 点，$AN=50(x+2)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 如图，作 $BD\perp AC$ 于点 $D$。 在 $Rt△ABD$ 中，$\cos A=\frac{AD}{AB}=\frac{12}{13}$，设 $AD=12k,AB=13k$ ($k>0$)。 则由勾股定理得 $BD=5k$。 在 $Rt△BCD$ 中，$\cos C=\frac{CD}{BC}=\frac{3}{5}$，则 $\tan C=\frac{BD}{CD}=\frac{4}{3}$。 所以 $CD=\frac{BD}{\tan C}=\frac{5k}{4/3}=\frac{15}{4}k$。 由 $AC=AD+CD=12k+\frac{15}{4}k=\frac{63}{4}k=1260$。 解得 $k=80$。 所以 $AB=13\times 80=1040$（米）。

（2）解： 乙在缆车上的时间为 $1040÷130=8$ 分钟。 设乙出发 $x$ 分钟 ($0\le x\le 8$)。 此时乙到达 $M$ 点，$AM=130x$；甲到达 $N$ 点，$AN=50(x+2)$。 在 $△AMN$ 中，由余弦定理得： $M{N}^2=A{M}^2+A{N}^2-2AM\cdot AN\cos A$ $M{N}^2=(130x{)}^2+[50(x+2){]}^2-2\cdot 130x\cdot 50(x+2)\cdot \frac{12}{13}$ 化简得：$M{N}^2=7400x^2-14000x+10000$。 这是一个开口向上的二次函数，其对称轴为 $x=\frac{14000}{2\times 7400}=\frac{35}{37}$。 因为 $\frac{35}{37}\in [0,8]$，所以当 $x=\frac{35}{37}$ 时，$MN$ 最小。 答：乙出发 $\frac{35}{37}$ 分钟后，两人距离最短。

（3）解： 由（1）知 $BD=5\times 80=400,CD=\frac{15}{4}\times 80=300$。 在 $Rt△BCD$ 中，$BC=\sqrt{400^2+300^2}=500$（米）。 甲到达 $C$ 的时间为 $1260÷50=25.2$（分钟）。 设乙步行的速度为 $v$ 米/分钟。 乙到达 $C$ 的总时间为 $T_{乙}=2（甲先走）+8（缆车）+1（停留）+\frac{500}{v}=11+\frac{500}{v}$。 由题意得：$|11+\frac{500}{v}-25.2|\le 3$，即 $14.2-3\le \frac{500}{v}\le 14.2+3$。 $11.2\le \frac{500}{v}\le 17.2$。 解得 $\frac{500}{17.2}\le v\le \frac{500}{11.2}$，即 $\frac{1250}{43}\le v\le \frac{625}{14}$。 答：乙步行的速度应控制在 $[\frac{1250}{43},\frac{625}{14}]$ 米/分钟范围内。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：处理实际问题时，作高线构造直角三角形是解决斜三角形边角关系最稳妥的方法（比正弦定理更直观）。 2. 函数思维：距离最短问题本质是二次函数的最值问题。

避坑指南：在第三问中，乙的总时间必须包含甲先走的 2 分钟、缆车的 8 分钟以及停留的 1 分钟，漏加任何一项都会导致范围错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：见详细解析。

方法推广：处理实际问题时，作高线构造直角三角形是解决斜三角形边角关系最稳妥的方法（比正弦定理更直观）。 2. 函数思维：距离最短问题本质是二次函数的最值问题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-05 单-余弦定理
• 2015-福建卷文-14 填-正弦定理
• 2015-广东卷文-05 单-余弦定理