2014-江苏卷-21D 解-不等式选讲

本题导读

本题考查三元基本不等式的应用。通过对不等式左侧的两个括号分别利用均值不等式进行放缩，再将结果相乘，从而证明目标不等式。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 已知 $x>0,y>0$，证明：$(1+x+y^2)(1+x^2+y)\ge 9xy$.

🔍【思路分析】

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1. 观察结构：不等式左边是两个三项式相乘，右边是 $9xy$。注意到 $9=3\times 3$，这启发我们对每个括号分别使用三元基本不等式。
2. 运用均值不等式：对 $1,x,y^2$ 和 $1,x^2,y$ 分别使用 $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$。
3. 相乘化简：将两个放缩后的不等式相乘，观察变量的指数是否能够抵消或还原为 $xy$。
4. 等号成立条件：验证两个不等式取等号的条件是否一致且可实现。

✅【答案】

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综上，原不等式得证

✍【详细解析】

Abstract

证明： 因为 $x>0,y>0$，由三元基本不等式得： $1+x+y^2\ge 3\sqrt[3]{1\cdot x\cdot y^2}=3\sqrt[3]{x{y}^2}\text{(1)}$ 当且仅当 $1=x=y^2$ 时，① 式等号成立。

同理可得： $1+x^2+y\ge 3\sqrt[3]{1\cdot x^2\cdot y}=3\sqrt[3]{x^{2}y}\text{(2)}$ 当且仅当 $1=x^2=y$ 时，② 式等号成立。

因为不等式两边均为正数，将 ①、② 两式相乘得： $(1+x+y^2)(1+x^2+y)\ge 3\sqrt[3]{x{y}^2}\cdot 3\sqrt[3]{x^{2}y}$ $(1+x+y^2)(1+x^2+y)\ge 9\sqrt[3]{x^3{y}^3}$ $(1+x+y^2)(1+x^2+y)\ge 9xy$

等号成立条件验证： 由 $x=y^2=1$ 且 $x^2=y=1$，解得 $x=1,y=1$。 当 $x=1,y=1$ 时，原不等式左边 $=(1+1+1)(1+1+1)=9$，右边 $=9(1)(1)=9$，等号成立。 综上，原不等式得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：$n$ 元基本不等式 $\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1{a}_2\dots a_n}$ 的灵活运用。

2. 核心方法：局部放缩法。处理括号积的不等式时，分别对各部分进行均值放缩是常用套路。

3. 避坑指南：在使用多个基本不等式并相乘时，一定要检查等号成立的条件是否相容。如果 ① 要求 $x=2$，② 要求 $x=3$，则相乘后的等号永远无法取得，虽然不等式依然成立，但证明过程的严谨性会受影响。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）也是证明此类乘积形式不等式的有力工具。

2. 结论推广: 乘积形式的不等式可对每个括号分别用均值不等式放缩后相乘。

3. 方法推广: 局部放缩法。处理括号积的不等式时，分别对各部分进行均值放缩是常用套路。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

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