2011-江苏卷-21 解-几何证明选讲

本题导读

本题考查几何证明选讲（两圆内切与相似比），以及矩阵与变换（矩阵乘法与矩阵方程）。

📌【题干】

Question

（2011年江苏卷） （本小题包括 A、B、C、D 四小题，请从其中选做两题） 【A】如图，圆 $O_1$ 与圆 $O_2$ 内切于点 $A$，其半径分别为 $r_1$ 与 $r_2$（$r_1>r_2$），圆 $O_1$ 的弦 $AB$ 交圆 $O_2$ 于点 $C$（$O_1$ 不在 $AB$ 上），求证：$AB:AC$ 为定值. 【B】已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right]$，向量 $\beta =\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$，求向量 $\alpha$，使得 $A^2\alpha =\beta$. 【C】在平面直角坐标系 $xOy$ 中，求过椭圆 $\{\begin{array}{l}x=5\cos \phi ,\\ y=3\sin \phi \end{array}$（$\phi$ 为参数）的右焦点，且与直线 $\{\begin{array}{l}x=4-2t,\\ y=3-t\end{array}$（$t$ 为参数）平行的直线的普通方程. 【D】解不等式：$x+|2x-1|<3$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：A：切点与两圆心共线 + 等腰底角证平行与相似
2. 步骤2：B：先算 $A^2$ 再解方程组
3. 步骤3：C：消参定焦点与斜率
4. 步骤4：D：以 $x=\frac{1}{2}$ 为界分段去绝对值

✅【答案】

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A：$AB:AC=r_1:r_2$；B：$\alpha =\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$；C：$x-2y-4=0$；D：解集为 $\left(-2,\frac{4}{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

【A】证明：连接 $A{O}_1$ 并延长，连接 $O_{1}B$，$O_{2}C$。

因为两圆内切于点 $A$，切点与两圆心共线，即 $O_2$ 在线段 $A{O}_1$ 上。

在 $△A{O}_{1}B$ 中，$O_{1}A=O_{1}B=r_1$，所以 $\angle O_{1}AB=\angle O_{1}BA$；在 $△A{O}_{2}C$ 中，$O_{2}A=O_{2}C=r_2$，所以 $\angle O_{2}AC=\angle O_{2}CA$。

又 $\angle O_{1}AB$ 与 $\angle O_{2}AC$ 是同一个角，所以 $\angle O_{1}BA=\angle O_{2}CA$，从而 $O_{1}B\parallel O_{2}C$，于是 $△A{O}_{1}B\backsim △A{O}_{2}C$。

由相似三角形对应边成比例，$\frac{AB}{AC}=\frac{A{O}_1}{A{O}_2}=\frac{r_1}{r_2}$，为定值。

【B】先计算 $A^2=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right]$。

设 $\alpha =\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$，则 $\{\begin{array}{l}3u+2v=1,\\ 4u+3v=2.\end{array}$ 两式相减得 $u+v=1$，代入第一式得 $u=-1$，从而 $v=2$。所以 $\alpha =\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$。

【C】由椭圆的参数方程消去 $\phi$（${\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi =1$），得 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，半焦距 $c=\sqrt{25-9}=4$，右焦点为 $(4,0)$。

由直线的参数方程消去 $t$：$t=3-y$，代入得 $x=4-2(3-y)=2y-2$，即 $x-2y+2=0$，斜率为 $\frac{1}{2}$。

所求直线过 $(4,0)$ 且斜率为 $\frac{1}{2}$，方程为 $y=\frac{1}{2}(x-4)$，即 $x-2y-4=0$。

【D】当 $x<\frac{1}{2}$ 时，$|2x-1|=1-2x$，原不等式化为 $-x+1<3$，得 $x>-2$，此时 $-2<x<\frac{1}{2}$；

当 $x⩾\frac{1}{2}$ 时，$|2x-1|=2x-1$，原不等式化为 $3x-1<3$，得 $x<\frac{4}{3}$，此时 $\frac{1}{2}⩽x<\frac{4}{3}$。

综上，不等式的解集为 $\left(-2,\frac{4}{3}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：A：切点与圆心共线及相似比；B：二阶矩阵乘法与矩阵方程；C：参数方程与普通方程互化；D：绝对值零点分段讨论

核心方法：A：等腰底角相等证平行与相似；B：先算 $A^2$ 再解二元一次方程组；C：三角代换消参 + 点斜式；D：零点分段后取并集

避坑指南：几何题中共线步骤必须证明、不能默认；矩阵乘法不可交换顺序，$A^2$ 要按行乘列法则计算；分段解绝对值不等式后两段解集取并集，不要漏掉端点归属。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：选修模块四选二题，与 2012 年江苏卷第 21 题、2013 年江苏卷第 21 题、2014 年江苏卷第 21A/21B/21C/21D 题同族。

结论推广：几何：过公切点的割线段之比等于两半径之比（位似变换观点）；代数：可逆方阵 $M$ 满足 $M\alpha =\beta ⟺\alpha =M^{-1}\beta$。

方法推广：四选二按模块口诀快速作答：几何抓共线与相似、矩阵先算幂再解方程、参数方程先消参、绝对值先找零点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理
• 18.16 参数方程与复数变换
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-21 解-几何证明选讲
• 2013-江苏卷-21 解-几何证明选讲
• 2014-江苏卷-21A 解-几何证明选讲
• 2014-江苏卷-21B 解-矩阵与变换
• 2014-江苏卷-21C 解-坐标系与参数方程
• 2014-江苏卷-21D 解-不等式选讲