2014-江西卷文-04 单-分段函数

本题导读

先由 $-1<0$ 算出 $f(-1)$，再判断它落在哪一段求 $a$。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(文)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}a\cdot 2^x,& x⩾0,\\ 2^{-x},& x<0,\end{array}$（$a\in \mathbf{R}$），若 $f[f(-1)]=1$，则 $a=$ ()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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$-1<0$，故 $f(-1)=2^1=2$，而 $2⩾0$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $-1<0$，所以 $f(-1)=2^{-(-1)}=2$。 又 $2⩾0$，故 $f[f(-1)]=f(2)=a\cdot 2^2=4a$。由 $4a=1$ 得 $a=\frac{1}{4}$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数与复合求值

2. 核心方法：由内向外逐层定段

3. 避坑指南：复合求值要判断两次自变量所属区间：$-1$ 走 $x<0$ 段得 $f(-1)=2$，而 $2$ 又要走 $x⩾0$ 段，切勿把 $-1$ 直接代入 $a\cdot 2^x$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 分段函数的复合求值。

2. 结论推广: 求 $f[f(x_0)]$：先由 $x_0$ 所在区间算出 $f(x_0)$，再按 $f(x_0)$ 的取值确定第二次代入的区间。

3. 方法推广: 含参分段函数求值问题，最后一步是解方程并检验所得参数与所设区间是否相容。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-03 单-复合函数
• 2014-湖南卷理-06 单-程序框图