2014-江西卷文-20 解-抛物线定值

本题导读

(1) 设 $A=P(u)$、$B=P(v)$，写出直线 $AB$ 的方程，由它过 $M(0,2)$ 得 $uv=-2$；(2) 写出在 $P(t)$ 处的切线方程，分别与两条直线联立求 $N_1$、$N_2$。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(文)） 如图，已知抛物线 $C:x^2=4y$，过点 $M(0,2)$ 任作一直线与 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点，过点 $B$ 作 $y$ 轴的平行线与直线 $AO$ 相交于点 $D$（$O$ 为坐标原点）.

(1) 证明：动点 $D$ 在定直线上；

(2) 作 $C$ 的任意一条切线 $l$（不含 $x$ 轴）与直线 $y=2$ 相交于点 $N_1$，与第一问中的定直线相交于点 $N_2$，证明：$|M{N}_2{|}^2-|M{N}_1{|}^2$ 为定值，并求此定值.

🔍【思路分析】

破题导航

抛物线上的点用参数 $P(t)=(2t,t^2)$ 表示可避开根号；切线方程由 $y=tx-t^2$ 给出。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 定直线为 $y=-2$；(2) 定值为 $8$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设抛物线 $C:x^2=4y$ 上的点用参数表示为 $P(t)=(2t,t^2)$，并设 $A=P(u)$，$B=P(v)$。 过 $A$，$B$ 的直线方程为 $y=\frac{u+v}{2}x-uv$（可由两点式验证）。因为该直线过 $M(0,2)$，所以 $-uv=2$，即 $uv=-2$。 直线 $AO$ 的方程为 $y=\frac{u}{2}x$；过 $B$ 作 $y$ 轴的平行线为 $x=2v$。将 $x=2v$ 代入 $y=\frac{u}{2}x$ 得 $y=uv=-2$，故 $D(2v,-2)$。 因此动点 $D$ 恒在定直线 $y=-2$ 上。 (2) 设切线 $l$ 为抛物线在参数 $t$ 处的切线。抛物线 $x^2=4y$ 即 $y=\frac{x^2}{4}$，在点 $P(t)$ 处的切线方程为 $y=tx-t^2$。因切线不含 $x$ 轴，故 $t\ne 0$。 令 $y=2$：由 $tx=t^2+2$ 得 $N_1\left(\frac{t^2+2}{t},2\right)=\left(t+\frac{2}{t},2\right)$； 令 $y=-2$：由 $tx=t^2-2$ 得 $N_2\left(\frac{t^2-2}{t},-2\right)=\left(t-\frac{2}{t},-2\right)$。 又 $M(0,2)$，故 $|M{N}_1{|}^2={\left(t+\frac{2}{t}-0\right)}^2+(2-2{)}^2={\left(t+\frac{2}{t}\right)}^2$， $|M{N}_2{|}^2={\left(t-\frac{2}{t}\right)}^2+(-2-2{)}^2={\left(t-\frac{2}{t}\right)}^2+16$。 所以 $|M{N}_2{|}^2-|M{N}_1{|}^2={\left(t-\frac{2}{t}\right)}^2-{\left(t+\frac{2}{t}\right)}^2+16=-8+16=8$，为定值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的参数设点与切线、定直线定值问题

2. 核心方法：参数化设点 + 韦达定理

3. 避坑指南：(1) 用 $P(t)=(2t,t^2)$ 参数化设点，由 $AB$ 过 $M(0,2)$ 得 $uv=-2$，代入 $D$ 的坐标即得定直线；(2) 切线 $y=tx-t^2$ 分别与 $y=2$、$y=-2$ 联立求出 $N_1$、$N_2$ 后作差。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 抛物线中的定直线与定值问题。

2. 结论推广: 抛物线 $x^2=4y$ 上点 $P(t)=(2t,t^2)$ 处的切线方程为 $y=tx-t^2$。

3. 方法推广: 「定值」问题的处理方式：先把待求量表示为参数的函数，再化简发现参数被消去；若未消去，说明化简方向有误。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-09 单-相切
• 2014-新课标I卷理-10 单-抛物线定义