2014-江西卷理-19 解-函数的极值

本题导读

本题考查利用导数研究函数的极值与单调性。第一问是基础的导数应用，通过求导、找零点、列表分析得出极值；第二问将单调性转化为导数在给定区间上的恒成立问题，考查参数取值范围的求解。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)） 已知函数 $f(x)=(x^2+bx+b)\sqrt{1-2x}$ ($b\in \mathbb{R}$).

(1) 当 $b=4$ 时，求 $f(x)$ 的极值；

(2) 若 $f(x)$ 在区间 $(0,\frac{1}{3})$ 上单调递增，求 $b$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：代入 $b=4$，明确定义域 $x<\frac{1}{2}$。利用乘积求导法则求出 $f^{\prime }(x)$，令 $f^{\prime }(x)=0$ 得到驻点，通过检查驻点两侧导数的符号来判断极值情况。
2. 第二问：函数在区间上单调递增，等价于在该区间上 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 恒成立。求出含参的 $f^{\prime }(x)$，整理不等式，利用变量分离或根据二次函数在区间上的最值情况求出 $b$ 的范围。

✅【答案】

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极小值为 $0$；极大值为 $4$；$b\le \frac{1}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 函数的定义域为 $(-\infty ,\frac{1}{2})$。 当 $b=4$ 时，$f(x)=(x^2+4x+4)\sqrt{1-2x}$。 求导： $f^{\prime }(x)=(2x+4)\sqrt{1-2x}+(x^2+4x+4)\cdot \frac{-2}{2\sqrt{1-2x}}$ $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+4)(1-2x)-(x^2+4x+4)}{\sqrt{1-2x}}=\frac{-5x^2-10x}{\sqrt{1-2x}}=\frac{-5x(x+2)}{\sqrt{1-2x}}$。 令 $f^{\prime }(x)=0$，得 $x_1=-2,x_2=0$。

列表分析：

$x$	$(-\infty ,-2)$	$-2$	$(-2,0)$	$0$	$(0,\frac{1}{2})$
$f^{\prime }(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\searrow$	极小值	$\nearrow$	极大值	$\searrow$

当 $x=-2$ 时，$f(-2)=(4-8+4)\sqrt{5}=0$； 当 $x=0$ 时，$f(0)=(0+0+4)\sqrt{1}=4$。 故 $f(x)$ 的极小值为 $0$，极大值为 $4$。

(2) 解： 对原函数求导得： $f^{\prime }(x)=(2x+b)\sqrt{1-2x}+(x^2+bx+b)\cdot \frac{-1}{\sqrt{1-2x}}=\frac{(2x+b)(1-2x)-(x^2+bx+b)}{\sqrt{1-2x}}$ $f^{\prime }(x)=\frac{-5x^2+(2-3b)x}{\sqrt{1-2x}}=\frac{-x(5x+3b-2)}{\sqrt{1-2x}}$。

因为 $f(x)$ 在 $(0,\frac{1}{3})$ 上单调递增， 所以对 $x\in (0,\frac{1}{3})$，有 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 恒成立。 由于 $\sqrt{1-2x}>0$ 且在此区间内 $-x<0$， 所以必须满足 $5x+3b-2\le 0$ 对 $x\in (0,\frac{1}{3})$ 恒成立。 即 $3b\le 2-5x$ 恒成立。

令 $g(x)=2-5x$，在 $(0,\frac{1}{3})$ 上 $g(x)$ 是减函数。 要使不等式恒成立，只需 $3b\le g(x{)}_{min}$。 当 $x\to \frac{1}{3}$ 时，$g(x)\to 2-\frac{5}{3}=\frac{1}{3}$。 所以 $3b\le \frac{1}{3}$，解得 $b\le \frac{1}{9}$。 故 $b$ 的取值范围为 $(-\infty ,\frac{1}{9}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用导数研究函数的极值与单调区间。

2. 核心方法：乘积求导与复合函数求导结合，判定导数符号只需关注分子。

3. 避坑指南：在第二问中，注意单调性与导数符号的关系：$f^{\prime }(x)\ge 0$ 是增函数的充分必要条件（导数不能恒为 $0$）。同时，分清“恒成立”时是取最大值还是最小值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二次函数的区间最值、导数的物理意义。

2. 结论推广: 若函数包含根式 $\sqrt{g(x)}$，求导前务必先确定定义域，防止在区间外讨论单调性。

3. 方法推广: 恒成立问题 $b\le h(x)$ 转化为 $b\le h(x{)}_{min}$ 是标准套路。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.03 专题-恒成立问题
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-08 单-函数的极值与最值
• 2025-新高考II卷-13 填-三次函数极值
• 2025-新高考II卷-10 多-奇函数与极值