2025-新高考II卷-13 填-三次函数极值

本题导读

本题考查导数与极值的关系.核心考查意图是利用“可导函数在极值点处的导数为零”这一性质，通过对含参数的三次函数求导并代入已知极值点，解出参数 $a$ 的值，最后计算函数值.

📌【题干】

Question

（2025年新高考II卷）若 $x=2$ 是函数 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)$ 的极值点，则 $f(0)=$ $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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1.求导函数：将 $f(x)$ 展开或使用积的导数法则求出 $f^{\prime }(x)$.对于多项式乘积，展开成一般式再求导通常更不易出错.

2. 利用极值条件列方程：根据极值点的必要条件，若 $x=2$ 是极值点，则必有 $f^{\prime }(2)=0$.

3. 解方程求参数 $a$：代入 $x=2$ 到导函数表达式中，解出 $a$.

4. 计算目标值：将 $a$ 的值代入原函数解析式，计算 $f(0)$.

✅【答案】

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$-4$

✍【详细解析】

Abstract

1.第一步：对函数求导 方法一（展开法）： $f(x)=(x^2-3x+2)(x-a)=x^3-(a+3)x^2+(3a+2)x-2a$ 求导得： $f^{\prime }(x)=3x^2-2(a+3)x+(3a+2)$ 方法二（积的导数法则）： $f^{\prime }(x)=1\cdot (x-2)(x-a)+(x-1)\cdot 1\cdot (x-a)+(x-1)(x-2)\cdot 1$ 2. 第二步：利用 $f^{\prime }(2)=0$ 列方程 将 $x=2$ 代入 $f^{\prime }(x)$（使用方法二的表达式计算更简便）：

$f^{\prime }(2)=(2-2)(2-a)+(2-1)(2-a)+(2-1)(2-2)$

$f^{\prime }(2)=0+1\cdot (2-a)+0$

$f^{\prime }(2)=2-a$ 由题意 $f^{\prime }(2)=0$，得：$2-a=0⟹a=2$

3.第三步：计算 $f(0)$

将 $a=2$ 代入原函数 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-2)=(x-1)(x-2{)}^2$：

$f(0)=(0-1)(0-2{)}^2$

$f(0)=(-1)\times (-2{)}^2$

$f(0)=-1\times 4=-4$ 故填：$-4$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：可导函数极值点的导数零点性质（必要条件）、复合多项式求导规则、函数常数项值的代入计算。
2. 核心方法：因式残留控制法（解法二）。在面对由多个一元线性因式乘积构成的多项式（如零点式 $f(x)=\prod (x-x_i)$ ）求导时，若要代入的自变量本身就是其中某一个因式的根，采用积的导数法则展开（每次只求导一个，其余保留）能利用零乘任意数为零的特性，直接让绝大部分项蒸发。这是解析几何与导数高段位算力选手高频使用的通用特技。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（极值点与最值点混淆导致不敢用 $f^{\prime }(x_0)=0$）：必须明确，极值点是局部域内导数变号的零点，只要函数光滑可导， $f^{\prime }(x_0)=0$ 是极值点判定牢不可破的刚性地基.
• 避坑指南 2（充分性检验的逻辑闭环意识）：严格来说，导数为 0 只是极值点的必要条件而非充分条件（例如 $f(x)=x^3$ 导数在 0 处为 0，但 0 不是极值点）。求出 $a=2$ 后，有经验的考生应在脑海中快速做个符号复核，确保其两侧导数确实发生了变号，避免掉入命题人精心设置的“鞍点”陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2004-天津理-20 解-导数的几何意义
• 2005-天津卷理-22 解-三角函数的周期性
• 2005-福建卷理-19 解-导数的几何意义