2014-浙江卷文-04 单-三角图象平移

本题导读

$\sin 3x+\cos 3x=\sqrt{2}\cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\cos \left[3\left(x-\frac{\pi }{12}\right)\right]$，向右平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位，选 C。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(文)） 为了得到函数 $y=\sin 3x+\cos 3x$ 的图象，可以将函数 $y=\sqrt{2}\cos 3x$ 的图象()

A. 向右平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位　　　　　　　　　　B. 向左平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位

C. 向右平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位　　　　　　　　　D. 向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位

🔍【思路分析】

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$\sin 3x+\cos 3x=\sqrt{2}\cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\cos \left[3\left(x-\frac{\pi }{12}\right)\right]$，向右平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

先用诱导公式把目标函数化为余弦型：

$\sin 3x+\cos 3x=\sqrt{2}\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi }{2}-3x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)$。

而 $\sqrt{2}\cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\cos \left[3\left(x-\frac{\pi }{12}\right)\right]$。

所以将 $y=\sqrt{2}\cos 3x$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位即可，选 C。

验证：向右平移 $\frac{\pi }{12}$ 后得 $\sqrt{2}\cos \left[3\left(x-\frac{\pi }{12}\right)\right]=\sqrt{2}\cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos 3x+\sin 3x$ ✓。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式；图象平移变换（左加右减）

2. 核心方法：统一函数名后对 $x$ 作代换 $x\to x-\phi$

3. 避坑指南：平移量是对”自变量 $x$“而言的：系数 3 不除回去就会错成 $\frac{\pi }{4}$；先把 $3x-\frac{\pi }{4}$ 提取成 $3\left(x-\frac{\pi }{12}\right)$ 再读平移量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角图象变换基础题，与 2014 年新课标Ⅰ理 9 同类。

2. 结论推广: 一般地，$y=A\cos \omega x$ 的图象向右平移 $\phi$（$\phi >0$）个单位得 $y=A\cos [\omega (x-\phi )]$；异名函数先诱导公式化同名。

3. 方法推广: “化同名 → 提系数 → 读平移”三步走，方向由括号内 $x\pm \phi$ 的符号决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-04 单-两角和差公式
• 2014-新课标I卷理-09 单-平面区域的表示