2014-浙江卷理-04 单-两角和差公式

本题导读

本题考查三角函数图像的平移变换。解题关键在于利用辅助角公式将两个函数统一成同名函数（如正弦型函数），通过对比初相的差异，根据“左加右减”原则确定平移的方向和长度。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)） 为了得到函数 $y=\sin 3x+\cos 3x$ 的图像，可以将函数 $y=\sqrt{2}\cos 3x$ 的图像()

A. 向右平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位　　　　　　　　　　B. 向左平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位

C. 向右平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位　　　　　　　　　D. 向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位

🔍【思路分析】

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1. 统一函数形式：利用辅助角公式 $a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\varphi )$，将目标函数和原函数均化为正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$。

2. 提取公系数 $\omega$：在相位中提取自变量 $x$ 的系数 $3$，使得相位表现为 $3(x+\dots )$ 的形式。

3. 计算平移量：对比两个函数中自变量 $x$ 的偏移量，根据“左加右减”原则判断平移方向。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简目标函数

$y=\sin 3x+\cos 3x=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 3x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 3x)$

应用辅助角公式：

$y=\sqrt{2}\sin (3x+\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}\sin [3(x+\frac{\pi }{12})]$

第二步：化简原函数

将原函数 $y=\sqrt{2}\cos 3x$ 转化为正弦形式：

$y=\sqrt{2}\sin (3x+\frac{\pi }{2})=\sqrt{2}\sin [3(x+\frac{\pi }{6})]$

第三步：对比确定平移路径

设原函数相位为 $3(x+\frac{\pi }{6})$，目标函数相位为 $3(x+\frac{\pi }{12})$。

令 $x_{new}+\frac{\pi }{6}=x_{old}+\frac{\pi }{12}$ 是错误的直觉，应观察 $x$ 的替换关系：

从 $x+\frac{\pi }{6}$ 变为 $x+\frac{\pi }{12}$，相当于把 $x$ 替换为 $x-\frac{\pi }{12}$。

具体计算：$(x-\frac{\pi }{12})+\frac{\pi }{6}=x+\frac{\pi }{12}$。

根据图像变换规律“内减右移”，自变量减去 $\frac{\pi }{12}$ 表示向右平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式与三角函数图像的平移变换

2. 核心方法：辅助角公式统一为正弦型函数，再比较相位确定平移量

3. 避坑指南：平移变换中经常容易混淆正弦和余弦。最稳妥的方法是将两者统一成 $A\sin (\omega x+\phi )$ 或 $A\cos (\omega x+\phi )$ 再对比。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数图像的伸缩变换、三角函数的单调性与最值。

2. 结论推广: 函数 $y=f(\omega x+\varphi )$ 图像向右平移 $h$ 个单位得到 $y=f[\omega (x-h)+\varphi ]$。

3. 方法推广: 面对不同名三角函数的图像关系，利用诱导公式 $\cos \alpha =\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )$ 或 $\sin \alpha =\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )$ 进行转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-17 解-两角和差公式
• 2013-江西卷理-16 解-两角和与差的公式
• 2013-新课标II卷理-15 填-两角和的正切公式