2014-浙江卷文-08 单-幂对函数图象

本题导读

$a>1$ 时两函数同增，且 $0<x<1$ 上 ${\log }_{a}x<0<x^a<x$，只有 D 图同时满足，选 D。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(文)） 在同一直角坐标系中，函数 $f(x)=x^a(x\ge 0)$，$g(x)={\log }_{a}x$ 的图象可能是()

A. 　　　　　　　　　B. 　　　　　　　　　C. 　　　　　　　　　D.

🔍【思路分析】

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$a>1$ 时两函数同增，且 $0<x<1$ 上 ${\log }_{a}x<0<x^a<x$，只有 D 图同时满足，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

两个函数共用底数参数 $a$，抓住三条硬约束逐图排查：

① $f(x)=x^a$ 恒过 $(0,0)$ 与 $(1,1)$；$g(x)={\log }_{a}x$ 恒过 $(1,0)$。

② $a>1$ 时：$f$ 递增且下凸（$x\ge 1$ 段越来越陡），$g$ 递增；且在 $0<x<1$ 上 ${\log }_{a}x<0<x^a<x$，即 $g$ 的图象在 $(0,1)$ 上位于 $x$ 轴下方。

③ $0<a<1$ 时：$f$ 递增且上凸，$g$ 递减。

逐一排查：某选项中不存在幂函数应有的图象特征，排除；$g$ 递减的选项对应 $0<a<1$，但图中 $f$ 的凸向与之矛盾，排除；余下两图中，唯有 D 同时呈现”$f$ 下凸递增、$g$ 递增且在 $(0,1)$ 上为负”，对应 $a>1$，自洽。选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：幂函数与对数函数的图象特征（单调性、凸向、特殊点）

2. 核心方法：由图象读单调性定 $a$，再用 $(1,1)$、$(1,0)$ 与 $(0,1)$ 上的大小关系核对

3. 避坑指南：两图象共用一个 $a$：对数递减推出 $0<a<1$，此时幂函数必须上凸；只看”增减”不看”凹凸”容易在剩余两个选项间选错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 幂函数与对数函数图象组合识别题（2014 浙江理 7 同族），考查对图象特征的精细把握。

2. 结论推广: 一般地，$x\in (0,1)$ 时幂函数 $x^a$ 随 $a$ 增大而减小，$a>1$ 时 $x^a<x$、$0<a<1$ 时 $x^a>x$；对数图象的”负区间”是 $(0,1)$（$a>1$）或 $(1,+\infty )$（$0<a<1$）。

3. 方法推广: 识图题三板斧：特殊点定位 → 单调性定参数范围 → 凹凸方向收口。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-07 单-幂函数图象
• 1990-全国卷理-05 单-正弦型函数的图象