2014-浙江卷文-12 填-线性规划

本题导读

可行域三个顶点 $(1,0)$、$(1,\frac{3}{2})$、$(2,1)$，$x+y$ 最大 3、最小 1，取值范围 $[1,3]$。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(文)） 若实数 $x$，$y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x+2y-4\le 0,\\ x-y-1\le 0,\\ x\ge 1,\end{array}$ 则 $x+y$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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可行域三个顶点 $(1,0)$、$(1,\frac{3}{2})$、$(2,1)$，$x+y$ 最大 3、最小 1，取值范围 $[1,3]$。

✅【答案】

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$[1,3]$

✍【详细解析】

Abstract

三条边界：$x=1$；$x+2y=4$；$y=x-1$。可行域是以 $(1,0)$、$\left(1,\frac{3}{2}\right)$、$(2,1)$ 为顶点的三角形区域（含边界）。

目标 $z=x+y$ 在顶点处的值：

$(1,0)$：$z=1$；$\left(1,\frac{3}{2}\right)$：$z=\frac{5}{2}$；$(2,1)$：$z=3$。

线性目标在凸多边形上的最值必在顶点取得，故 $z_{\min }=1$，$z_{\max }=3$，取值范围 $[1,3]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式组表示的平面区域；线性目标函数最值

2. 核心方法：顶点代入法

3. 避坑指南：$(1,0)$ 这个顶点容易漏（$x=1$ 与 $y=x-1$ 的交点）；目标函数值随点连续变化，答”取值范围”须写成区间，不能只报最值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线性规划常规小题，与 2014 年新课标Ⅰ理 9、浙江理 13 同族。

2. 结论推广: 平移直线 $x+y=z$ 观察截距亦可：直线向右上方平移 $z$ 增大，最后离开可行域的顶点即最大值点。

3. 方法推广: 线性规划标准流程：画域 → 找顶点 → 顶点处算目标值 → 按问法作答。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-13 填-可行域与目标函数
• 2014-新课标II卷理-09 单-线性规划