2014-新课标II卷理-09 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划问题的求解。通过作出不等式组表示的平面区域（可行域），利用目标函数的几何意义（截距），确定最优解所在的顶点，从而求得目标函数的最大值。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 设 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y-7\le 0\\ x-3y+1\le 0\\ 3x-y-5\ge 0\end{array}$，则 $z=2x-y$ 的最大值为 ()

A. $10$　　　　　　　B. $8$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出可行域：在坐标系中分别画出三条直线 $x+y-7=0,x-3y+1=0,3x-y-5=0$，并根据不等号的方向确定阴影区域。
2. 分析目标函数：将 $z=2x-y$ 转化为斜截式 $y=2x-z$。其中 $2$ 是斜率，$-z$ 是纵截距。要使 $z$ 最大，只需纵截距 $-z$ 最小。
3. 寻找最优解：平移直线 $y=2x$，观察其在可行域内向上或向下移动时，截距的变化情况。
4. 计算顶点坐标：确定使 $z$ 最大的顶点，联立对应方程组求出坐标，代入 $z$ 即可。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：作出可行域 不等式组表示的平面区域为一个三角形区域 $ABC$。

第二步：目标函数的几何意义 目标函数 $z=2x-y$ 可变形为 $y=2x-z$。 这是一组斜率为 $2$ 的平行直线系，当直线向右下方平移时，$z$ 值增大（即纵截距 $-z$ 减小）。

第三步：确定最优顶点 通过平移发现，当直线 $y=2x-z$ 经过直线 $x+y-7=0$ 与 $x-3y+1=0$ 的交点 $C$ 时，直线在 $y$ 轴上的截距最小，此时 $z$ 取得最大值。

联立方程组求点 $C$ 的坐标： $\{\begin{array}{l}x+y-7=0\\ x-3y+1=0\end{array}$ 由第一式减第二式得：$4y-8=0⟹y=2$。 代入第一式得：$x+2-7=0⟹x=5$。 所以顶点 $C$ 的坐标为 $(5,2)$。

第四步：计算最大值 将 $x=5,y=2$ 代入目标函数： $z_{max}=2\times 5-2=10-2=8$

故选 B


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划的图解法。注意目标函数中 $y$ 前面的系数。如果 $y$ 系数为负，则 $z$ 最大对应截距最小；如果 $y$ 系数为正，则 $z$ 最大对应截距最大。 2. 易错提醒：画图要尽可能准确，防止找错最优顶点。如果无法通过画图直观判断，可以求出可行域的所有顶点坐标分别代入计算。 3. 计算细节：联立方程求解坐标时务必仔细，这是保证结果正确的最后一步。

2. 核心方法：作出可行域，将目标函数化为斜截式平移找最优顶点代入求解。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线性规划在实际生活中的最优配给、利润最大化问题。

2. 结论推广: 若目标函数为距离平方（如 $x^2+y^2$）或斜率（如 $\frac{y}{x}$），则需结合圆或直线的几何性质求解。

3. 方法推广: 面对非线性的约束条件，思路一致：化归为几何意义明显的数学模型。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-11 单-线性规划
• 2015-福建卷文-10 单-线性规划
• 2015-湖南卷文-04 单-线性规划