2014-浙江卷文-18 解-解三角形

本题导读

条件式整体化简为 $2+2\cos C=2+\sqrt{2}$ 得 $C=\frac{\pi }{4}$；由面积定 $a=3\sqrt{2}$，余弦定理得 $c=\sqrt{10}$。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(文)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$.已知 $4{\sin }^2\frac{A-B}{2}+4\sin A\sin B=2+\sqrt{2}$.

(1) 求角 $C$ 的大小；

(2) 已知 $b=4$，$△ABC$ 的面积为 6，求边长 $c$ 的值.

🔍【思路分析】

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条件式整体化简为 $2+2\cos C=2+\sqrt{2}$ 得 $C=\frac{\pi }{4}$；由面积定 $a=3\sqrt{2}$，余弦定理得 $c=\sqrt{10}$。

✅【答案】

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(1) $C=\frac{\pi }{4}$；(2)$c=\sqrt{10}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $A+B+C=\pi$ 及倍角公式：

$4{\sin }^2\frac{A-B}{2}=2-2\cos (A-B)$， $4\sin A\sin B=2\cos (A-B)-2\cos (A+B)$。

两式相加，$\cos (A-B)$ 恰好消去，左边 $=2-2\cos (A+B)=2-2\cos (\pi -C)=2+2\cos C$。

所以 $2+2\cos C=2+\sqrt{2}$，$\cos C=\frac{\sqrt{2}}{2}$。由 $0<C<\pi$，得 $C=\frac{\pi }{4}$。

(2) 由面积公式：$6=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}a$，得 $a=3\sqrt{2}$。

由余弦定理：

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=18+16-2\cdot 3\sqrt{2}\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=34-24=10$。

由 $c>0$，得 $c=\sqrt{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：降幂（倍角）公式、积化和差的方向；余弦定理与面积公式

2. 核心方法：“积化和差配对相消”整体化简；面积定边、余弦定理收口

3. 避坑指南：本题的关键一步是 $\cos (A-B)$ 的消去：${\sin }^2\frac{A-B}{2}$ 降幂出 $\cos (A-B)$，$\sin A\sin B$ 积化和差又出一正一负两个 $\cos (A-B)$，硬拆单项算 $A$、$B$ 反而走进死胡同。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 解三角形首题的”条件化简”流派（2014 浙江理 18 同族），与新课标卷 17 题位对应。

2. 结论推广: 一般地，条件中同时出现 ${\sin }^2\frac{A-B}{2}$ 与 $\sin A\sin B$ 时，优先整体化简到只含 $C$；化简目标始终是”单一内角的三角式”。

3. 方法推广: 解三角形大题两段式：先把含角条件化到最简（消差、降幂、和积互化），再按”已知两角一边或两边一夹角”选用正弦/余弦定理与面积公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 11.02 余弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-18 解-降幂公式与倍角公式
• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理