2014-浙江卷理-18 解-降幂公式与倍角公式

本题导读

本题是一道综合考查三角恒等变换与解三角形的典型大题。第一问要求通过降幂、倍角及辅助角公式对已知等式进行化简，并结合三角形内角的性质确定角 C；第二问在已知角、边和正弦值的情况下，利用正弦定理和面积公式求解三角形面积。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$.已知 $a\ne b,c=\sqrt{3}$，且 ${\cos }^{2}A-{\cos }^{2}B=\sqrt{3}\sin A\cos A-\sqrt{3}\sin B\cos B$.

(1) 求角 $C$ 的大小；

(2) 若 $\sin A=\frac{4}{5}$，求 $△ABC$ 的面积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问思路：
   • 观察已知等式，含有平方项和 $\sin \cdot \cos$ 项，优先考虑利用降幂公式 ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$ 和倍角公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ 进行降次。
   • 整理等式后，利用辅助角公式化简为 $\sin (2A-\varphi )=\sin (2B-\varphi )$ 的形式。
   • 结合 $a\ne b⟹A\ne B$ 这一条件，利用正弦函数的性质（相等或互补）确定 $A+B$ 的值，进而求出 $C$。
2. 第二问思路：
   • 已知 $c=\sqrt{3},\sin C$（由第一问得）和 $\sin A$，利用正弦定理求出边 $a$。
   • 根据三角形内角和及两角和的正弦公式求出 $\sin B=\sin (A+C)$。
   • 最后利用面积公式 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$ 计算结果。

✅【答案】

点击查看答案

所以 $C=\pi -(A+B)=\frac{\pi }{3}$。；所以 $△ABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$：

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 由已知得：$\frac{1+\cos 2A}{2}-\frac{1+\cos 2B}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2A-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2B$ 整理得：$\sqrt{3}\sin 2A-\cos 2A=\sqrt{3}\sin 2B-\cos 2B$ 两边同时乘以 $\frac{1}{2}$，应用辅助角公式： $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2A-\frac{1}{2}\cos 2A=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2B-\frac{1}{2}\cos 2B$ 即 $\sin (2A-\frac{\pi }{6})=\sin (2B-\frac{\pi }{6})$。 因为 $a\ne b$，所以 $A\ne B$，则 $2A-\frac{\pi }{6}\ne 2B-\frac{\pi }{6}$。 由于 $A,B\in (0,\pi )$，由正弦函数性质知：$(2A-\frac{\pi }{6})+(2B-\frac{\pi }{6})=\pi$ 得 $2A+2B=\frac{4\pi }{3}⟹A+B=\frac{2\pi }{3}$。 所以 $C=\pi -(A+B)=\frac{\pi }{3}$。

(2) 解： 由 (1) 知 $C=\frac{\pi }{3}$，则 $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos C=\frac{1}{2}$。 已知 $c=\sqrt{3},\sin A=\frac{4}{5}$。 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ 得： $a=\frac{c\sin A}{\sin C}=\frac{\sqrt{3}\times \frac{4}{5}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{5}$。 因为 $a=\frac{8}{5}<c=\sqrt{3}\approx 1.732$，所以 $A<C$，则 $A$ 为锐角，$\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\frac{3}{5}$。 则 $\sin B=\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$ $\sin B=\frac{4}{5}\times \frac{1}{2}+\frac{3}{5}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$。 所以 $△ABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$： $S=\frac{1}{2}\times \frac{8}{5}\times \sqrt{3}\times \frac{4+3\sqrt{3}}{10}=\frac{4\sqrt{3}(4+3\sqrt{3})}{50}=\frac{8\sqrt{3}+18}{25}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等变换与正弦定理、三角形面积公式的综合应用

2. 核心方法：看到 ${\sin }^2$、${\cos }^2$、$\sin \cos$ 组合先降幂倍角化简。

3. 避坑指南：第二问求 $\sin B$ 时，利用 $\sin (A+C)$ 往往比求出边 $b$ 后再用面积公式更快捷且不易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 余弦定理求边、内切圆与外接圆半径计算。

2. 结论推广: 在三角形中，$\sin (A-B)$ 类型的恒等式变形经常与边长关系挂钩。

3. 方法推广: 辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\varphi )$ 是处理此类题目的万能钥匙。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-11 填-倍角公式
• 2013-四川卷理-17 解-降幂公式与两角和的余弦公式
• 2013-浙江卷理-06 单-二倍角公式