2014-浙江卷文-21 解-导数含参最值

本题导读

$0<a\le 1$ 时 $g(a)=a^3$，$a>1$ 时 $g(a)=3a-2$；再逐段证 $f(x)\le g(a)+4$，核心代数式 $(a-1{)}^2(a+2)\ge 0$。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^3+3|x-a|$（$a>0$），若 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最小值记为 $g(a)$.

(1) 求 $g(a)$；

(2) 证明：当 $x\in [-1,1]$ 时，恒有 $f(x)\le g(a)+4$.

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$0<a\le 1$ 时 $g(a)=a^3$，$a>1$ 时 $g(a)=3a-2$；再逐段证 $f(x)\le g(a)+4$，核心代数式 $(a-1{)}^2(a+2)\ge 0$。

✅【答案】

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(1) $g(a)=\{\begin{array}{ll}{a}^3,& 0<a\le 1,\\ 3a-2,& a>1;\end{array}$(2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 去掉绝对值：$x\ge a$ 时 $f(x)=x^3+3x-3a$（导数 $3x^2+3>0$，递增）；$x<a$ 时 $f(x)=x^3-3x+3a$（导数 $3x^2-3$）。

① 当 $0<a\le 1$：在 $[-1,a]$ 上 $f(x)=x^3-3x+3a$，导数 $3x^2-3\le 0$，递减；在 $[a,1]$ 上 $f(x)=x^3+3x-3a$，递增。最小值在 $x=a$ 处取得，$g(a)=f(a)=a^3$。

② 当 $a>1$：对任意 $x\in [-1,1]$ 都有 $x<a$，$f(x)=x^3-3x+3a$ 在 $[-1,1]$ 上导数 $\le 0$，递减，最小值在 $x=1$ 处取得，$g(a)=1-3+3a=3a-2$。

综上 $g(a)=\{\begin{array}{ll}{a}^3,& 0<a\le 1,\\ 3a-2,& a>1.\end{array}$

(2) 分两段给出上界，再与 $g(a)+4$ 比较：

当 $a>1$：$f$ 在 $[-1,1]$ 上递减，$f(x)\le f(-1)=-1+3+3a=3a+2=g(a)+4$ ✓。

当 $0<a\le 1$：

若 $x\in [-1,a]$：$f$ 递减，$f(x)\le f(-1)=3a+2$。而

$g(a)+4-(3a+2)=a^3+4-3a-2=a^3-3a+2=(a-1{)}^2(a+2)\ge 0$， 故 $f(x)\le g(a)+4$。

若 $x\in [a,1]$：$f$ 递增，$f(x)\le f(1)=1+3-3a=4-3a\le a^3+4=g(a)+4$（最后一步由 $-3a\le a^3$，即 $a(a^2+3)\ge 0$ 对 $a>0$ 成立）。

综上，对任意 $x\in [-1,1]$，恒有 $f(x)\le g(a)+4$。∎

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含绝对值函数的最值；导数研究单调性；分段放缩与因式分解配凑

2. 核心方法：“按 $a$ 与 $[-1,1]$ 的位置分类” + “逐段取端点作上界”

3. 避坑指南：分类标准是 $a$ 落在区间内还是区间右外侧（$a>0$ 保证不在左侧）；第 (2) 问两段的上界分别取 $f(-1)$ 与 $f(1)$，中间靠 $(a-1{)}^2(a+2)\ge 0$ 这条因式分解把两段缝起来——方向反了（先拆绝对值再讨论 $x$）会陷入重复讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 导数压轴的”双段式”：先求分段最小值，再证一致上界（2014 浙江理 22 同族），浙江卷导数压轴的典型面孔。

2. 结论推广: 一般地，证 $f(x)\le g(a)+c$ 恒成立时，若 $g(a)$ 是分段最小值，可对每个分段分别用单调性给出 $f$ 的最大上界，再逐段验证上界不超过 $g(a)+c$，缺一段都不行。

3. 方法推广: 绝对值函数讨论的锚点是”零点与区间的相对位置”；恒成立证明的利器是把不等式两侧同段化，再在临界参数处做因式分解（如 $(a-1{)}^2(a+2)$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-22 解-函数最值
• 2014-新课标I卷理-21 解-求曲线的切线