2014-浙江卷理-22 解-函数最值

本题导读

本题是全卷的压轴题，考查含绝对值符号的函数在闭区间上的最值问题以及不等式恒成立问题。解题核心在于根据参数 $a$ 的不同取值对函数进行分类讨论，利用导数工具分析单调性，进而确定最值，并在此基础上解决含参不等式的取值范围问题。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)） 已知函数 $f(x)=x^3+3|x-a|$ ($a\in \mathbb{R}$).

(1) 若 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值和最小值分别记为 $M(a),m(a)$，求 $M(a)-m(a)$；

(2) 设 $b\in \mathbb{R}$，若 $[f(x)+b{]}^2\le 4$ 对 $x\in [-1,1]$ 恒成立，求 $3a+b$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问思路：
   • 去绝对值：根据 $x$ 与 $a$ 的大小关系，将 $f(x)$ 写成分段函数。
   • 求导分析：对每一段分别求导，判断在区间 $[-1,1]$ 上的单调性。
   • 分类讨论：针对 $a$ 的位置（$a\le -1,-1<a<1,a\ge 1$）分情况讨论。在 $-1<a<1$ 内部，还需根据端点值 $f(1)$ 与 $f(-1)$ 的大小关系细分 $a$ 的范围（以 $a=1/3$ 为界）。
   • 求差：确定 $M(a)$ 和 $m(a)$ 后作差。
2. 第二问思路：
   • 转化不等式：将 $[f(x)+b{]}^2\le 4$ 转化为 $-2\le f(x)+b\le 2$，即 $m(a)+b\ge -2$ 且 $M(a)+b\le 2$。
   • 代入分类结果：利用第一问中对 $a$ 的分类情况，分别建立关于 $a,b$ 的不等式组。
   • 构造辅助函数：将待求式 $3a+b$ 看作关于 $a$ 的函数，利用导数或单调性求其在各段上的取值范围。

✅【答案】

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$M(a)-m(a)=8$；$M(a)-m(a)=4-3a-a^3$；$M(a)-m(a)=3a+2-a^3$；$M(a)-m(a)=4$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3+3x-3a,& x\ge a\\ x^3-3x+3a,& x<a\end{array}$，则 $f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2+3,& x>a\\ 3x^2-3,& x<a\end{array}$。 (i) 当 $a\le -1$ 时，$x\in [-1,1]⟹x\ge a$。$f(x)=x^3+3x-3a$ 递增。 $M(a)=f(1)=4-3a,m(a)=f(-1)=-4-3a$。故 $M(a)-m(a)=8$。 (ii) 当 $-1<a<1$ 时，$f(x)$ 在 $[-1,a)$ 递减，在 $[a,1]$ 递增。 $m(a)=f(a)=a^3$。$M(a)=\max \{f(-1),f(1)\}=\max \{2+3a,4-3a\}$。 由 $4-3a=2+3a$ 得 $a=1/3$。

• 若 $-1<a\le 1/3$，$M(a)=4-3a$，$M(a)-m(a)=4-3a-a^3$；
• 若 $1/3<a<1$，$M(a)=2+3a$，$M(a)-m(a)=3a+2-a^3$。 (iii) 当 $a\ge 1$ 时，$x\in [-1,1]⟹x\le a$。$f(x)=x^3-3x+3a$ 递减。 $M(a)=f(-1)=2+3a,m(a)=f(1)=-2+3a$。故 $M(a)-m(a)=4$。

(2) 解： 由题意知对 $x\in [-1,1]$ 恒有 $-2-b\le f(x)\le 2-b$，即 $m(a)\ge -2-b$ 且 $M(a)\le 2-b$。 等价于 $M(a)-m(a)\le 4$。 由 (1) 知：当 $a\le -1$ 时，$M(a)-m(a)=8>4$，无解； 当 $-1<a\le 1/3$ 时，$4-3a-a^3\le 4⟹a(a^2+3)\ge 0⟹0\le a\le 1/3$。 此时条件为 $a^3+b\ge -2$ 且 $4-3a+b\le 2$。 整理得 $-2-a^3+3a\le 3a+b\le 6a-2$ 且 $0\le a\le 1/3$。 设 $t(a)=-2-a^3+3a$，由 $t^{\prime }(a)=3-3a^2>0$ 知 $t(a)$ 递增，$t(0)=-2$。 经计算验证得该段 $-2\le 3a+b\le 0$。 当 $1/3<a<1$ 时，同理可得 $-\frac{28}{27}<3a+b\le 0$。 当 $a\ge 1$ 时，$M(a)-m(a)=4\le 4$ 成立，此时 $3a+b-2\ge -2$ 且 $3a+b+2\le 2$，得 $3a+b=0$。 综上，$3a+b\in [-2,0]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含绝对值函数的分类讨论最值与恒成立问题

2. 核心方法：对绝对值函数分类讨论，恒成立问题转化为最值比较。

3. 避坑指南：$a=1/3$ 是一个隐藏的讨论点，必须通过比较端点函数值的大小关系主动挖掘。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 切线不等式应用、凸函数的性质、二阶导数判定。

2. 结论推广: 对于 $f(x)=g(x)+|h(x)|$ 类型，最值点通常出现在 $h(x)=0$ 或区间端点处。

3. 方法推广: 面对复杂的含参最值，构造关于参数的辅助函数（如本题中的 $t(a)$）能有效锁定目标范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-20 解-函数最值
• 2015-上海卷文-14 填-三角函数最值
• 2014-大纲卷文-14 填-三角函数最值