2014-湖北卷文-03 单-命题

本题导读

$\forall$ 改 $\exists$，结论 $x^2\ne x$ 改为 $x^2=x$。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(文)） 命题“$\forall x\in \mathbf{R}$，$x^2\ne x$”的否定是()

A. $\forall x\notin \mathbf{R}$，$x^2\ne x$　　　B. $\forall x\in \mathbf{R}$，$x^2=x$　　　C. $\exists x\notin \mathbf{R}$，$x^2\ne x$　　　D. $\exists x\in \mathbf{R}$，$x^2=x$

🔍【思路分析】

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全称改存在，结论取等号。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

全称命题的否定：量词 $\forall$ 换为 $\exists$，结论 $x^2\ne x$ 换为 $x^2=x$，论域 $\mathbf{R}$ 不变，故否定为「$\exists x\in \mathbf{R}$，$x^2=x$」。事实上 $x=0$ 或 $x=1$ 即满足，原命题确为假。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：全称命题的否定

2. 核心方法：改量词、否结论

3. 避坑指南：否定全称命题时量词 $\forall$ 改 $\exists$、结论再否定，两步缺一不可；$x^2\ne x$ 的否定是 $x^2=x$，而不是 $x^2$ 的符号变化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 常用逻辑用语基础题。

2. 结论推广: 「$\forall x,p(x)$」的否定是「$\exists x,\neg p(x)$」；「$\exists x,p(x)$」的否定是「$\forall x,\neg p(x)$」。

3. 方法推广: 含参数的命题否定后常用于反证法与「恒成立 vs 存在」问题的互相转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-03 单-交集与补集
• 2014-新课标I卷理-09 单-平面区域的表示