2014-陕西卷理-08 单-四种命题

本题导读

本题考查四种命题的概念及其真假性的判定。核心在于理解共轭复数的模相等是真命题，并利用反例排除逆命题与否命题，同时利用“等价命题”原理快速判定逆否命题。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(理)） 原命题为“若 $z_1,z_2$ 互为共轭复数，则 $|z_1|=|z_2|$”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()

A. 真，假，真　B. 假，假，真　C. 真，真，假　D. 假，假，假

🔍【思路分析】

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1. 分析原命题：设 $z_1=a+bi$，则 $z_2=\overline{z_1}=a-bi$。计算它们的模 $|z_1|=\sqrt{a^2+b^2},|z_2|=\sqrt{a^2+(-b{)}^2}=\sqrt{a^2+b^2}$。原命题为真。
2. 写出逆命题并判断：逆命题为“若 $|z_1|=|z_2|$，则 $z_1,z_2$ 互为共轭复数”。寻找反例（模相等但不是共轭关系）。
3. 写出否命题并判断：否命题为“若 $z_1,z_2$ 不互为共轭复数，则 $|z_1|\ne |z_2|$”。同样寻找反例。
4. 利用等价性判断逆否命题：根据逻辑规律，原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判定原命题真假 设 $z_1=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$)，若 $z_1,z_2$ 互为共轭复数，则 $z_2=a-bi$。 $|z_1|=\sqrt{a^2+b^2}$，$|z_2|=\sqrt{a^2+(-b{)}^2}=\sqrt{a^2+b^2}$。 所以 $|z_1|=|z_2|$ 恒成立，原命题为真。

第二步：判定逆命题真假 逆命题：若 $|z_1|=|z_2|$，则 $z_1,z_2$ 互为共轭复数。 反例：设 $z_1=1+2i,z_2=2+i$。 此时 $|z_1|=\sqrt{5},|z_2|=\sqrt{5}$，模相等，但 $z_1,z_2$ 可知不互为共轭复数。 故逆命题为假。

第三步：判定否命题真假 否命题：若 $z_1,z_2$ 不互为共轭复数，则 $|z_1|\ne |z_2|$。 根据“否命题与逆命题同真同假”的原理，由于逆命题为假，则否命题为假。 （或者利用上述反例：$z_1=1+2i,z_2=2+i$ 不互为共轭，但模相等，否定了结论）。

第四步：判定逆否命题真假 根据“逆否命题与原命题同真同假”的原理，由于原命题为真，则逆否命题为真。

综上所述，真假性依次为：假，假，真。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：四种命题的关系图。 - 原命题 $⟺$ 逆否命题（互为逆否，等价） - 逆命题 $⟺$ 否命题（互为逆否，等价）

2. 核心方法：反例法是判定命题为“假”的最快手段。在复数范围内，模相等的复数在复平面上构成一个圆，圆上任意两点模都相等，但不一定是共轭的。

3. 避坑指南：不要浪费时间去写出完整的逆否命题文字，直接通过原命题的真假推导即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 充分条件与必要条件的判定。

2. 结论推广: 在逻辑学中，$P\to Q$ 与 $\neg Q\to \neg P$ 是逻辑等价的。

3. 方法推广: 涉及几何意义时，利用复平面的对称性判断共轭（关于实轴对称）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷文-08 单-四种命题
• 2014-湖南卷文-01 单-命题
• 2014-湖北卷文-03 单-命题