2015-湖北卷文-10 单-新定义集合

本题导读

$A$ 是单位圆上的 5 个整点，$A\oplus B$ 即把 $B$（$5\times 5=25$ 个点）向 $A$ 的 4 个方向各平移一格：中心 25 个，四周条带各 5 个，共 45 个。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(文)） 已知集合 $A=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1,x,y\in \mathbf{Z}\}$，$B=\{(x,y)\mid |x|\le 2,|y|\le 2,x,y\in \mathbf{Z}\}$，定义集合 $A\oplus B=\{(x_1+x_2,y_1+y_2)\mid (x_1,y_1)\in A,(x_2,y_2)\in B\}$，则 $A\oplus B$ 中元素的个数为 ()

A. $77$　　　　　　　B. $49$　　　　　　　C. $45$　　　　　　　D. $30$

🔍【思路分析】

破题导航

$A$ 是单位圆上的 5 个整点，$A\oplus B$ 即把 $B$（$5\times 5=25$ 个点）向 $A$ 的 4 个方向各平移一格：中心 25 个，四周条带各 5 个，共 45 个。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

$A=\{(0,0),(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)\}$ 共 5 个元素；$B$ 是 $[-2,2]\times [-2,2]$ 内的 $5\times 5=25$ 个整点。

$A\oplus B=B+\{(0,0)\}\cup B+\{(\pm 1,0)\}\cup B+\{(0,\pm 1)\}$。

取 $(0,0)$ 得 $B$ 本身 25 个点；取 $(1,0)$ 得 $x\in [-1,3]$、$y\in [-2,2]$ 的 $5\times 5$ 个点，其中新增的只有 $x=3$ 的 5 个；同理 $(-1,0)$ 新增 $x=-3$ 的 5 个，$(0,\pm 1)$ 各新增 $y=\pm 3$ 的 5 个。

四条边带互不重叠（角点 $(\pm 3,\pm 3)$ 不可达：需同时 $x_1=\pm 1$ 且 $y_1=\pm 1$，但 $A$ 中无此点）。

故元素个数为 $25+4\times 5=45$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的新定义运算；分类计数

核心方法：把新定义展开为”平移并集”，按 $A$ 中各点贡献分类去重计数

避坑指南：易误把 $A\oplus B$ 当作 $B$ 的简单放大得 49 个（$7\times 7$）；四个”角点” $(\pm 3,\pm 3)$ 不可达，是计数的关键边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义集合运算题是湖北卷压轴选择的高频题型（同年第 17 题、理卷第 9 题亦为新定义），考查阅读理解与计数功力。

结论推广：若 $A$ 为整点集、$B=[-n,n{]}^2$ 整点方阵，则 $|A\oplus B|=|B|+{\sum }_{a\in A\setminus \{0\}}$（$a$ 方向新增条带的点数）；凸多边形整点集的和集可用”原集 + 边带”结构计数。

方法推广：新定义计数：先把定义翻译成几何操作（平移/并/交），再找”新增部分”分块计数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练(Links)

• 2015-湖北卷理-9
• 2014-湖北卷理-02 单-二项式通项
• 2010-湖北卷理-08