2015-湖北卷理-11 填-向量加法

本题导读

本题考查平面向量数量积的运算。通过向量拆分（利用加法法则）将待求量转化为已知模长和垂直关系的组合，是解决此类向量填空题的经典套路。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） 已知向量 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{AB}$，$|\overrightarrow{OA}|=3$，则 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用向量加法拆分：观察待求式 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$，其中 $\overrightarrow{OB}$ 可以通过 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{AB}$ 表示。根据三角形法则，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}$。
2. 展开数量积：将拆分后的式子代入数量积，利用分配律展开：$\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB})={\overrightarrow{OA}}^2+\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}$。
3. 代入已知条件：
   • 因为 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{AB}$，所以 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}=0$。
   • 因为 $|\overrightarrow{OA}|=3$，所以 ${\overrightarrow{OA}}^2=|\overrightarrow{OA}{|}^2=9$。

✅【答案】

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9

✍【详细解析】

Abstract

解法一：代数拆分法 根据向量加法的三角形法则，有： $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}$ 将此式代入待求的数量积： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB})$ 利用向量数量积的分配律展开： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}$ 因为 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OA}=|\overrightarrow{OA}{|}^2$，且已知 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{AB}$，即 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}=0$， 所以： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}{|}^2+0=3^2=9$

解法二：投影法几何直观 数量积 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos \theta$。 由几何意义知，$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$ 等于 $|\overrightarrow{OA}|$ 乘以 $\overrightarrow{OB}$ 在 $\overrightarrow{OA}$ 方向上的投影。 因为 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{AB}$，若建立以 $A$ 为直角顶点的直角三角形 $OAB$， 则 $B$ 点在直线 $OA$ 上的投影恰好就是点 $A$。 因此，$\overrightarrow{OB}$ 在 $\overrightarrow{OA}$ 方向上的投影长度即为 $|\overrightarrow{OA}|$。 所以 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OA}|=3\times 3=9$。

答案：9

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量数量积的分配律 $(\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c})$，以及垂直向量数量积为 0 的特性。
• 常用技巧：在涉及起点相同的向量（如 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$）时，利用中点、顶点或垂直关系进行向量拆分是极高效的手段。
• 避坑指南：注意 ${\overrightarrow{OA}}^2$ 等于模的平方 $|\overrightarrow{OA}{|}^2$，不要忘记平方运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 在直角三角形 $ABC$ 中，若 $\angle A=90^{\circ }$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-{\overrightarrow{AB}}^2$。
• 方法推广: 对于复杂的平面几何图形，建立平面直角坐标系（建系法）也是解决向量数量积问题的万能方法。
• 相关知识点: 向量投影、余弦定理的向量表示。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练(Links)

• 2014-湖北卷理-11 填-向量加减法
• 2004-湖北理-04 单-充分条件与必要条件的判定
• 2013年湖北卷理-6