2023-新高考II卷-12 多-二项分布

本题导读

本题考查相互独立事件的概率乘法公式，以及互斥事件的概率加法公式。

📌【题干】

Question

（2023年新高考II卷）在信道内传输$0,1$ 信号，信号的传输相互独立。发送 0 时，收到 1 的概率为 $\alpha$ ($0<\alpha <1$)，收到 0 的概率为 $1-\alpha$；发送 1 时，收到 0 的概率为 $\beta$ ($0<\beta <1$)，收到 1 的概率为 $1-\beta$.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输. 单次传输是指每个信号只发送 1 次；三次传输是指每个信号重复发送 3 次. 收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到 1, 0, 1，则译码为 1）。

A. 采用单次传输方案，若依次发送 1, 0, 1，则依次收到 1, 0, 1 的概率为 $(1-\alpha )(1-\beta {)}^2$

B. 采用三次传输方案，若发送 1，则依次收到 1, 0, 1 的概率为 $\beta (1-\beta {)}^2$

C. 采用三次传输方案，若发送 1，则译码为 1 的概率为 $\beta (1-\beta {)}^2+(1-\beta {)}^3$

D. 当 $0<\alpha <0.5$ 时，若发送 0，则采用三次传输方案译码为 0 的概率大于采用单次传输方案译码为 0 的概率

🔍【思路分析】

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1. 判定 A（单次传输序列）：发送 $1,0,1$ 收到 $1,0,1$，意味着三次传输均“正确接收”。根据独立性，将三次正确接收的概率相乘即可。
2. 判定 B（重复发送特定序列）：发送 $1$（即重复发送 $1,1,1$），收到 $1,0,1$。按顺序分析：第一次对，第二次错（收到 $0$），第三次对。
3. 判定 C（译码概率）：发送 $1$（即发送 $1,1,1$），译码为 $1$ 意味着收到的三个信号中 $1$ 的个数为 $2$ 或 $3$。这是一个二项分布 $B(3,1-\beta )$ 的问题。
4. 判定 D（方案优劣）：分别写出发送 $0$ 时，方案一译码为 $0$ 的概率 $P_1$ 和方案二译码为 $0$ 的概率 $P_2$，利用作差法结合因式分解判定 $P_2-P_1$ 的正负。

✅【答案】

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ABD

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析 A 选项（单次传输序列概率） 依次发送 $1,0,1$，收到 $1,0,1$ 的概率：

• 第一次：发 $1$ 收 $1$，概率 $1-\beta$；
• 第二次：发 $0$ 收 $0$，概率 $1-\alpha$；
• 第三次：发 $1$ 收 $1$，概率 $1-\beta$。 由于独立性，$P=(1-\beta )\times (1-\alpha )\times (1-\beta )=(1-\alpha )(1-\beta {)}^2$。 故 A 选项正确。

第二步：分析 B 选项（三次传输特定序列概率） 发送信号 $1$，三次传输方案发送的序列为 $(1,1,1)$。 依次收到 $(1,0,1)$ 的概率：

• 第一次：发 $1$ 收 $1$，概率 $1-\beta$；
• 第二次：发 $1$ 收 $0$，概率 $\beta$；
• 第三次：发 $1$ 收 $1$，概率 $1-\beta$。 $P=(1-\beta )\times \beta \times (1-\beta )=\beta (1-\beta {)}^2$。 故 B 选项正确。

第三步：分析 C 选项（译码概率的完整表达） 发送信号 $1$，译码为 $1$ 表示收到信号中 $1$ 的个数 $⩾2$。

• 收到 $3$ 个 $1$ 的概率：$C_3^3(1-\beta {)}^3=(1-\beta {)}^3$；

• 收到 $2$ 个 $1$ 的概率：$C_3^2(1-\beta {)}^2\beta =3\beta (1-\beta {)}^2$。 总概率 $P=(1-\beta {)}^3+3\beta (1-\beta {)}^2$。 选项 C 的表达式漏掉了系数 $3$，故 C 选项错误。

第四步：分析 D 选项（两种方案的胜出概率比较） 若发送信号 $0$：

• 方案一译码为 $0$（发 $0$ 收 $0$）的概率 $P_1=1-\alpha$。
• 方案二译码为 $0$（发 $0$ 收到至少两个 $0$）的概率 $P_2=C_3^3(1-\alpha {)}^3+C_3^2(1-\alpha {)}^2\alpha =(1-\alpha {)}^3+3\alpha (1-\alpha {)}^2$。 作差比较： $P_2-P_1=(1-\alpha {)}^2[(1-\alpha )+3\alpha ]-(1-\alpha )$ $=(1-\alpha )[(1-\alpha )(1+2\alpha )-1]$ $=(1-\alpha )[(1+\alpha -2{\alpha }^2)-1]$ $=(1-\alpha )(\alpha -2{\alpha }^2)=\alpha (1-\alpha )(1-2\alpha )$ 因为 $0<\alpha <0.5$，所以 $1-\alpha >0,1-2\alpha >0$。 故 $P_2-P_1>0⟹P_2>P_1$。 故 D 选项正确。

综上所述，正确选项为 ABD。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立重复试验与二项分布、互斥事件概率加法。
2. 核心方法：二项分布模型法、作差代数化简法。
3. 避坑指南：

• 在 C 选项中，“收到 2 个 1”是一个无序结果，包含 $(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)$ 三种情况，必须乘以组合数 ${\text{C}}_3^2$。
• 在 D 选项的作差比较中，注意符号是 $\alpha$ 还是 $\beta$。因式分解提取公因式能有效避免展开多项式带来的计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题背景来源于通信工程中的“多数表决纠错机制”（冗余校验）。考查将实际情境转化为经典二项分布模型的能力。
2. 结论推广：在二元信道传输中，只要单次传输的误码率 $p<0.5$（即正确率大于 $0.5$），通过增加重复发送的次数 $n$（$n$ 为奇数），并采用“少数服从多数”的译码规则，其译码的正确率会单调递增并趋近于 1。这正是现代信息论中保障数据传输可靠性的核心数学原理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

• 2003-江苏卷-17
• 2005-辽宁卷-20 解-相互独立事件的概率
• 2006-北京卷理-18 解-代数式大小比较