2014-湖南卷文-19 解-解三角形

本题导读

(1) 在 $△CDE$ 中用余弦定理与正弦定理；(2) 由 (1) 得 $\cos \angle CED$，再求 $\angle AEC$、$\angle AEB$。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(文)） 如图，在平面四边形 $ABCD$ 中，$DA\perp AB$，$DE=1$，$EC=\sqrt{7}$，$EA=2$，$\angle ADC=\frac{2\pi }{3}$，$\angle BEC=\frac{\pi }{3}$.

(1) 求 $\sin \angle CED$ 的值；

(2) 求 $BE$ 的长.

🔍【思路分析】

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(1) 在 $△CDE$ 中 $DE=1$、$EC=\sqrt{7}$、$\angle CDE=\frac{2\pi }{3}$；(2) 角关系 $\angle AEB=\angle AEC-\angle BEC$。

✅【答案】

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(1) $\frac{\sqrt{21}}{7}$；(2) $4\sqrt{7}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $E$ 在 $DA$ 上（$DE+EA=3=DA$），所以 $\angle CDE=\angle CDA=\frac{2\pi }{3}$。在 $△CDE$ 中，由余弦定理：$E{C}^2=C{D}^2+D{E}^2-2\cdot CD\cdot DE\cos \frac{2\pi }{3}$，即 $7=C{D}^2+1+CD$，解得 $CD=2$（舍负根）。 由正弦定理：$\frac{EC}{\sin \angle CDE}=\frac{CD}{\sin \angle CED}$，即 $\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sin \angle CED}$，得 $\sin \angle CED=\frac{2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$。 (2) 由 (1) 得 $\cos \angle CED=\sqrt{1-\frac{3}{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}$。因为 $EA$ 与 $ED$ 方向相反，所以 $\angle AEC=\pi -\angle CED$，故 $\cos \angle AEC=-\frac{2}{\sqrt{7}}$，$\sin \angle AEC=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$。 由图知 $\angle AEB=\angle AEC-\angle BEC=\angle AEC-\frac{\pi }{3}$，则 $\cos \angle AEB=\cos \angle AEC\cos \frac{\pi }{3}+\sin \angle AEC\sin \frac{\pi }{3}=\left(-\frac{2}{\sqrt{7}}\right)\times \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-2+3}{2\sqrt{7}}=\frac{1}{2\sqrt{7}}$。 因为 $DA\perp AB$ 且 $E$ 在 $DA$ 上，所以 $\angle EAB=90^{\circ }$，在 $\mathrm{Rt}△AEB$ 中 $\cos \angle AEB=\frac{AE}{BE}$，故 $BE=\frac{AE}{\cos \angle AEB}=\frac{2}{\frac{1}{2\sqrt{7}}}=4\sqrt{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面四边形中的解三角形

2. 核心方法：余弦定理求边、正弦定理求角

3. 避坑指南：(1) 关键是把 $DA\perp AB$ 转化为「$E$ 在 $DA$ 上、$\angle EAB=90^{\circ }$」，从而 $\angle CDE=\angle CDA=\frac{2\pi }{3}$，再用余弦定理求 $CD$；(2) 用「$\angle AEB=\angle AEC-\angle BEC$」的角关系 + 直角三角形 $ABE$ 得 $BE=\frac{AE}{\cos \angle AEB}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 平面四边形中的余弦定理与角关系运算。

2. 结论推广: $△CDE$ 中由余弦定理得 $CD=2$；$\cos \angle AEC=-\frac{2}{\sqrt{7}}$，$\sin \angle AEC=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$。

3. 方法推广: 「角的分拆」是解三角形中处理复合图形的常用技巧：把大角写为两角之差，用两角差公式计算其余弦值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷理-18 解-余弦定理
• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理