2014-湖南卷理-18 解-余弦定理

本题导读

本题考查解三角形的综合应用。第一问通过余弦定理直接活跃三角形内角的余弦值；第二问是核心难点，需要通过角的分割（差角）结合同角三角函数关系和正弦定理，最终求得边长。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(理)） 如图，在平面四边形$ABCD$中，$AD=1,CD=2,AC=\sqrt{7}$.

(1) 求$\cos \angle CAD$的值；

(2) 若$\cos \angle BAD=-\frac{\sqrt{7}}{14},\sin \angle CBA=\frac{\sqrt{21}}{6}$，求$BC$的长.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：在$△ACD$中，已知三边长度，直接利用余弦定理即可解出$\cos \angle CAD$。

2. 第二问：

   • 核心逻辑：要求$BC$的长，在$△ABC$中，已知$AC=\sqrt{7}$和$\sin \angle CBA$，若能求出$\sin \angle BAC$，则可利用正弦定理。

   • 角变换：观察图可知$\angle BAC=\angle BAD-\angle CAD$。

   • 步骤：

     1. 由$\cos \angle CAD$求$\sin \angle CAD$；

     2. 由$\cos \angle BAD$求$\sin \angle BAD$；

     3. 利用两角差的正弦公式$\sin \angle BAC=\sin (\angle BAD-\angle CAD)$计算；

     4. 代入正弦定理$\frac{AC}{\sin \angle CBA}=\frac{BC}{\sin \angle BAC}$现场。

✅【答案】

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答：$BC$的长为3

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 在$△ACD$中，$AD=1,CD=2,AC=\sqrt{7}$。 根据余弦定理：

$\cos \angle CAD=\frac{A{D}^2+A{C}^2-C{D}^2}{2AD\cdot AC}$

$\cos \angle CAD=\frac{1^2+(\sqrt{7}{)}^2-2^2}{2\times 1\times \sqrt{7}}=\frac{1+7-4}{2\sqrt{7}}=\frac{4}{2\sqrt{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$

(2) 解： 由(1)知$\cos \angle CAD=\frac{2\sqrt{7}}{7}$，且$\angle CAD$为三角形内角， 则$\sin \angle CAD=\sqrt{1-{\cos }^2\angle CAD}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{7}\right)}=\sqrt{\frac{3}{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$又因为$\cos \angle BAD=-\frac{\sqrt{7}}{14}$，且$\angle BAD\in (0,\pi )$，则$\sin \angle BAD=\sqrt{1-{\cos }^2\angle BAD}=\sqrt{1-\frac{7}{196}}=\sqrt{\frac{189}{196}}=\frac{3\sqrt{21}}{14}$。

观察图形，$\angle BAC=\angle BAD-\angle CAD$。 由两角差的正弦公式得：

$\sin \angle BAC=\sin (\angle BAD-\angle CAD)=\sin \angle BAD\cos \angle CAD-\cos \angle BAD\sin \angle CAD$

$\sin \angle BAC=\frac{3\sqrt{21}}{14}\cdot \frac{2\sqrt{7}}{7}-\left(-\frac{\sqrt{7}}{14}\right)\cdot \frac{\sqrt{21}}{7}$

$\sin \angle BAC=\frac{6\cdot 7\sqrt{3}}{98}+\frac{7\sqrt{3}}{98}=\frac{42\sqrt{3}+7\sqrt{3}}{98}=\frac{49\sqrt{3}}{98}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

在$△ABC$中，根据正弦定理：

$\frac{BC}{\sin \angle BAC}=\frac{AC}{\sin \angle CBA}$

$BC=\frac{AC\cdot \sin \angle BAC}{\sin \angle CBA}=\frac{\sqrt{7}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{6}}=\frac{\frac{\sqrt{21}}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{6}}=3$

答：$BC$的长为3。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理、两角差正弦公式与正弦定理

2. 核心方法：三边用余弦定理求 $\cos \angle CAD$，用差角公式求 $\sin \angle BAC$，正弦定理求 $BC$

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 余弦定理与角的差角变换

2. 结论推广: $\sin (\alpha -\beta )$ 用于角的分割求值。

3. 方法推广: 可迁移到解四边形、角的分割与正余弦定理综合类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-05 单-余弦定理
• 2015-广东卷文-05 单-余弦定理
• 2013-重庆卷理-20 解-余弦定理