2014-湖南卷理-12 填-垂径定理

本题导读

本题考查圆内比例线段的计算。核心在于利用垂径定理对弦进行平分，再结合勾股定理求出部分线段长，最后通过相交弦定理（或构造直径）求得圆的半径。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(理)） 如图 3，已知 $AB,BC$ 是 $\odot O$ 的两条弦，$AO\perp BC$，$AB=\sqrt{3}$，$BC=2\sqrt{2}$，则 $\odot O$ 的半径等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 运用垂径定理：设半径 $AO$（或其延长线）交 $BC$ 于点 $D$。由于 $AO\perp BC$ 且 $AO$ 过圆心，由垂径定理知 $D$ 是 $BC$ 的中点，可求出 $BD$。
2. 利用勾股定理：在 $Rt\Delta ABD$ 中，已知 $AB$ 和 $BD$，可以求出 $AD$ 的长。
3. 构造几何关系求半径：
   • 方法一（延长直径）：延长 $AD$ 交圆于点 $E$，则 $AE$ 为直径。利用相交弦定理（或切割线定理的变形）$BD\cdot DC=AD\cdot DE$ 求出 $DE$。
   • 方法二（直角三角形）：设半径为 $r$，则 $OD=|r-AD|$。在 $Rt\Delta ODB$ 中利用 $O{B}^2=O{D}^2+B{D}^2$ 列方程求解。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：垂径定理与初步计算 设 $AO$ 与 $BC$ 相交于点 $D$。 因为 $AO\perp BC$ 且 $AO$ 所在直线过圆心 $O$， 所以由垂径定理得 $D$ 为 $BC$ 的中点， $BD=DC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}=\sqrt{2}$

第二步：求 $AD$ 的长 在 $Rt\Delta ABD$ 中，根据勾股定理： $AD=\sqrt{A{B}^2-B{D}^2}=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{3-2}=1$

第三步：求半径 $r$ 解法一：相交弦定理 延长 $AD$ 交 $\odot O$ 于点 $E$。由于 $AE$ 过圆心且垂直于弦 $BC$，故 $AE$ 是圆的直径。 由相交弦定理得： $BD\cdot DC=AD\cdot DE$ $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=1\cdot DE⟹DE=2$ 圆的直径 $2r=AE=AD+DE=1+2=3$。 所以半径 $r=\frac{3}{2}$。

解法二：构造直角三角形 连接 $OB$，设 $\odot O$ 的半径为 $r$。 在 $Rt\Delta ODB$ 中，$OB=r$，$BD=\sqrt{2}$。 线段 $OD=|AO-AD|=|r-1|$。 由勾股定理 $O{B}^2=O{D}^2+B{D}^2$ 得： $r^2=(r-1{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2$ $r^2=r^2-2r+1+2$ $2r=3⟹r=\frac{3}{2}$

故答案为 $\frac{3}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：垂径定理与圆内比例线段

2. 核心方法：垂径定理平分弦求 $BD$，勾股求 $AD$，再用相交弦定理或勾股求半径

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 垂径定理与相交弦定理

2. 结论推广: 垂直于弦的直径平分弦。

3. 方法推广: 可迁移到圆内弦、半径与比例线段类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-15 填-圆周角定理与直径性质