2015-湖南卷理-16A 解-几何证明选讲

本题导读

本题考查圆内基础几何性质的综合应用。第一问利用垂径定理构造直角，进而利用四边形内角和证明角度关系；第二问通过第一问隐藏的四点共圆结论，结合割线定理完成乘积式的证明。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)） 如图，在圆 $O$ 中，相交于点 $E$ 的两弦 $AB,CD$ 的中点分别是 $M,N$，直线 $MO$ 与直线 $CD$ 相交于点 $F$.证明：

(1) $\angle MEN+\angle NOM=180^{\circ }$；

(2) $FE\cdot FN=FM\cdot FO$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（角度证明）：

   • 垂径定理：连接圆心与弦的中点，则连线必垂直于该弦。由此可得 $OM\perp AB$ 和 $ON\perp CD$。

   • 内角和性质：观察四边形 $OMEN$，其中两个角为 $90^{\circ }$，利用四边形内角和为 $360^{\circ }$ 即可得出另外两角互补。

2. 第二问（乘积式证明）：

   • 识别模型：观察 $FE\cdot FN$ 和 $FM\cdot FO$，这两组线段均从点 $F$ 出发，且分别位于直线 $FNE$ 和 $FMO$ 上。

   • 四点共圆：由第一问 $\angle OME=\angle ONE=90^{\circ }$，根据“对角互补”判定 $O,M,E,N$ 四点共圆。

   • 割线定理：在以 $O,M,E,N$ 为顶点的辅助圆中，利用割线定理直接得出结论。

✅【答案】

点击查看答案

待补

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明 $\angle MEN+\angle NOM=180^{\circ }$ 在圆 $O$ 中，由于 $M,N$ 分别是弦 $AB,CD$ 的中点，根据垂径定理可知： $OM\perp AB⟹\angle OME=90^{\circ }$； $ON\perp CD⟹\angle ONE=90^{\circ }$。 在四边形 $OMEN$ 中，其内角和等于 $360^{\circ }$，即： $\angle OME+\angle MEN+\angle ENO+\angle NOM=360^{\circ }$。 代入直角值得： $90^{\circ }+\angle MEN+90^{\circ }+\angle NOM=360^{\circ }$。 整理得： $\angle MEN+\angle NOM=180^{\circ }$。 证毕。

（2）证明 $FE\cdot FN=FM\cdot FO$ 由（1）中 $\angle OME=\angle ONE=90^{\circ }$，可知在四边形 $OMEN$ 中，对角 $\angle OME+\angle ONE=180^{\circ }$。 根据四点共圆判定定理，点 $O,M,E,N$ 四点共圆。 此时，直线 $FNE$ 与直线 $FMO$ 是圆 $OMEN$ 的两条割线。 根据割线定理（从圆外一点引两条割线，该点到每条割线与圆交点的距离之积相等）： 对于割线 $F-N-E$ 和 $F-M-O$，有： $FN\cdot FE=FM\cdot FO$。 即：$FE\cdot FN=FM\cdot FO$。 证毕。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：垂径定理的推论（中点 $⟹$ 垂直）；四点共圆的判定（对角互补）；割线定理。
• 避坑指南：第一问中 $\angle OME=90^{\circ }$ 是由 $M$ 是 $AB$ 中点决定的，与 $AB$ 是否垂直于 $CD$ 无关。第二问的关键是识别出 $O,M,E,N$ 构成的辅助圆，而非原圆 $O$。
• 核心方法：遇到乘积式 $PA\cdot PB=PC\cdot PD$ 时，优先寻找四点共圆构造割线/相交弦模型，或寻找相似三角形。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广：若点 $F$ 在圆内，结论依然成立，此时对应的是相交弦定理。
• 方法推广：辅助圆法。在解决比例线段问题时，若能找到直角或等角，构造辅助圆往往比证明三角形相似更简洁。
• 相关知识点：圆周角定理、切线长定理、方幂定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 待补

类题演练(Links)

• 2013年湖南卷理-16
• 2014-湖南卷理-12 填-垂径定理
• 2013年湖南卷理-11