2014-福建卷文-07 单-三角函数

本题导读

本题先按“左加右减”写出 $f(x)$，再用诱导公式化为余弦函数，逐项检验奇偶性、周期与对称性。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(文)） 将 $y=\sin x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位得到 $y=f(x)$ 的图象，判断四个选项中哪个说法正确.()

A. $y=f(x)$ 是奇函数　B. $y=f(x)$ 的周期是 $\pi$　C. $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称　D. $y=f(x)$ 的图象关于点 $\left(-\frac{\pi }{2},0\right)$ 对称

🔍【思路分析】

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平移得 $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x$，再对四个选项逐一核对：奇偶性（A）、周期（B）、对称轴（C）、对称中心（D）。

✅【答案】

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正确的说法

✍【详细解析】

详细解析

由平移法则得 $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x$。$\cos x$ 是偶函数（A 错）；周期为 $2\pi$（B 错）；$\cos \frac{\pi }{2}=0$，直线 $x=\frac{\pi }{2}$ 不是对称轴（C 错）；$\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)=0$，图象关于点 $\left(-\frac{\pi }{2},0\right)$ 对称（D 对）。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：图象平移变换与三角函数性质
2. 核心方法：“左加右减” + 诱导公式
3. 避坑指南：函数图象平移是对 $x$ 而言“左加右减”，与系数、方向容易搞反；另外 $\cos x$ 的对称中心在 $x=k\pi +\frac{\pi }{2}$（图象与 $x$ 轴交点处），对称轴在 $x=k\pi$（最值处），两者位置不能混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: “平移 + 性质判断”是三角小题的双料考点，本题平移量恰为 $\frac{\pi }{2}$，与诱导公式衔接后得到余弦函数，四个选项覆盖了余弦函数的四类性质。
2. 结论推广: 若改为向右平移 $\frac{\pi }{2}$，得 $f(x)=-\cos x$，仍是偶函数，但对称中心变为 $\left(\frac{\pi }{2},0\right)$。
3. 方法推广: 遇到图象变换先写出解析式，再逐项对照性质清单（奇偶、周期、对称轴、对称中心、单调性），可确保不漏不错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 07.00 知识网络

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-07 单-分段函数的解析式与图象
• 2014-新课标I卷理-03 单-函数奇偶性